ベクトル値関数の極限

次の質問です。簡単そうですが、よくわかりません。どなたかおわかりになる方よろしくお願いします。
「R^2の点(u0, v0)の近傍で定義されたR^3への関数　
(u, v)→(x, y, z) （x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)）
が(u0, v0)で微分可能のとき、極限
lim[(u, v)→(u0, v0)](√((x-x0)^2+(y-y0)^2+(xz-z0)^2)/√((u-u0)^2+(v-v0)^2))
は存在するか？ただし、x0=x(u0, v0), y0=y(u0, v0), z0=z(u0, vo)とします。」

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/28 22:03

存在しない。

たとえば　u₀=v₀=0 , x=uv, y=z=0 とする。
与式=|uv|/√(u²+v²)
このとき、u=mv とすると
与式=|m|/√(1+m²)
となり、mの値により、極限が異なる。

この回答へのお礼

なるほど。そうですね。わかりやすい回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/12/28 22:10

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/29 21:55

lim[h→0] ｜Ah｜ / ｜h｜ = ｜ A lim[h→0] h/｜h｜ ｜.

だからね。

この回答へのお礼

重ね重ねのご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/12/31 18:02

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/29 08:55

lim[(u, v)→(u0, v0)] ｜ (x,y,z) - (x0,y0,z0) ｜ / ｜ (u,v) - (u0,v0) ｜ かな？

関数 (u,v) → (x,y,z) が微分可能なら、
(x,y,z) - (x0,y0,z0) = A ( (u,v) - (u0,v0) ) + o( ｜ (u,v) - (u0,v0) ｜ )
になる 3×2 の行列 A が在る。{ それが ∂(x,y,z)/∂(u,v) }

(u, v)→(u0, v0) は ｜ (u, v) - (u0, v0) ｜→0 って意味だから、
h = (u, v) - (u0, v0) の方向が決まらないと
lim[h→0] ｜Ah｜ / ｜h｜ の値は決まらない。

この回答へのお礼

なるほど。
方向が、例えばNo1さんの回答にあるように、
u-u0 = m(v-v0)
と定めると、
｜Ah｜ / ｜h｜ = |A(m, 1)~| / |(m, 1)~|
となり、右辺はmによって値が変わるので極限が定まらないということですね。納得です。
（「~」で転置記号を表してみました）

お礼日時：2024/12/29 11:29