本来にらぷらすへんかん

Tまでの区間だけで値持ってほかで０のような関数を
u(t)-u(t-T)の窓関数かけて[0,inf)で積分するのと
[0,T]で積分するのは同じですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/29 21:23

書かれていない u(t) の定義が

　t < 0 のとき 　u(t) = 0,
　0 ≦ t のとき　u(t) = 1.
だとすると、

w(t) = u(t) - u(t-T) と定義すれば
　t < 0 のとき　　　 w(t) = 0,
　0 ≦ t < T のとき　w(t）= 1,
　T < t のとき　　　 w(t) = 0.
になる。

で、 ∫[0,∞]f(t)w(t)dt = ∫[0,T]f(t)dt
が成り立つか？って話かな。

f(t) が普通の関数なら、これは成り立つ。
∫[0,∞]f(t)w(t)dt = ∫[0,T]f(t)w(t)dt + ∫[T,∞]f(t)w(t)dt
　　　　　　　　　 = ∫[0,T]f(t)1dt + ∫[T,∞]f(t)0dt
　　　　　　　　　 = ∫[0,T]f(t)dt + ∫[T,∞]0dt
　　　　　　　　　 = ∫[0,T]f(t)dt.
だから。

f(t) が t=0 や t=T にスパイクを持つ超関数だったりすると、
u(0) の定義によって話が変わるかもしれない。