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No.7
- 回答日時:
a0≦a のとき
|∫[a0,a] sin(sx) ds| ≦ ∫[a0,a]|sin(sx)|ds
だけれども
a0>a のとき
∫[a0,a]|sin(sx)|ds=-∫[a,a0]|sin(sx)|ds≦0
だから
|∫[a0,a] sin(sx) ds| ≦ ∫[a0,a]|sin(sx)|dsは成り立たない
a0≦a のとき
|∫[a0,a] sin(sx) ds| ≦ ∫[a0,a]|sin(sx)|ds≦a-a0
a0>a のとき
|∫[a0,a] sin(sx) ds| ≦∫[a,a0]|sin(sx)|ds≦a0-a
だから
|∫[a0,a] sin(sx) ds| ≦|a-a0|
No.6
- 回答日時:
画像の話の要点は、上の cos(a x) - cos(a0 x) = ∫[a0,a]{ -x sin(sx) }ds
のほうなのですけど、そこは解ったのですね?
質問は青矢印の理由のようですが、なぜそんな簡単な部分で引っかかるかな?
cos(a x) - cos(a0 x) = ∫[a0,a]{ -x sin(sx) }ds が成り立っているなら、
両辺の絶対値をとって |cos(a x) - cos(a0 x)| = |∫[a0,a]{ -x sin(sx) }ds|
= |(-x)∫[a0,a] sin(sx) ds|
= |x|・|∫[a0,a] sin(sx) ds|.
また、 |∫[a0,a] sin(sx) ds| ≦ ∫[a0,a]|sin(sx)|ds です。
任意の被積分関数に対して |∫f(s)ds| ≦ ∫|f(s)|ds は成り立ちますからね。
よって |cos(a x) - cos(a0 x)| ≦ |x|・∫[a0,a]|sin(sx)|ds ですが、
0 ≦ |sin(sx)| ≦ 1 が成りたつので、 0 ≦ ∫[a0,a]|sin(sx)|ds ≦ |a - a0|.
以上より、|cos(a x) - cos(a0 x)| ≦ |x|・|a - a0| です。
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皆さまありがとうございました。
みなさんの回答を元に頭を冷やしたら理解出来ました。