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「12人の生徒を4人ずつ3つの組に分ける。何通りあるか?」
という問いの解法で、
分け方の総数は、12C4・8C4・4C4(通り)
ここまではいいのですが、解答には、3!でさらに割っています。
なぜ、3!で割るのですか?教えてください。

A 回答 (3件)

12人の生徒を4人単位で3つの部屋A,B,Cに分ける組み合わせは、


12C4・8C4・4C4(通り)=(1)とし、

12人の生徒を3つの部屋に分ける組み合わせ=(2)とする。

さて問題は部屋に区別がない。
(1)は(2)が決まった後、一つの組をどの部屋にするかで3通り、残りのもう一方をどの部屋にするかで2通り、最後の組は選択の余地なく1通り。という組み合わせを考えているのはわかるだろうか。

つまり、積の法則から、
{(2)の組み合わせの個数}*3!=(1)の組み合わせの個数
よって、
(2)の組み合わせの個数={(1)の組み合わせの個数}/3!


<考察>
特になし。和、積の法則が理解できていればこんなの簡単でしょう?
以上
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kexe氏の説明でよいと思います。

ここでは、問題にできるだけ即して考えてみます。
まず、12人の生徒A B C D E F G H I J K Lから4人を選ぶのは12C4です。
どの4人を選んでも残りは8人ですよね。仮にABCDを選んだとします。(ABCD)とかいておきましょう。
次に残りの8人E F G H I J K Lから4人を選ぶのは8C4です。
どの4人を選んでも残りは4人ですよね。仮にEFGHを選んだとします。(EFGH)とかいておきましょう。
さらに残りの4人H I J Kから、4人を選ぶのは 4C4=1(通り) です。

ところで、このわけ方を(ABCD)(EFGH)(IJKL)と書き表すことにしましょう。
ところが、
(ABCD)(EFGH)(IJKL),
(ABCD)(IJKL)(EFGH),
(EFGH)(ABCD)(IJKL),
(EFGH)(IJKL)(ABCD),
(IJKL)(ABCD)(EFGH),
(IJKL)(EFGH)(ABCD)
はすべて,3組に分けたということでは同じ分け方になるのです。
分け方の総数、12C4・8C4・4C4(通り)
の中には、同じ分け方は、3!ずつ重複するのです。
で、3!で割るのです。

(注意)個数が違う場合に注意!!
同じようでも、「12人を5人4人3人の3組に分けなさい。」というときには
12C5・7C4・3C3(通り)
であり、3!で割りません。重複しないからです。念のため。
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>分け方の総数は、12C4・8C4・4C4(通り)



これなんですが
”3つの組”に関しては全く考えていないですね
正確にはABCの3つの組にわけるというふうに考えています。

例えばABCという3組にわける場合と組を気にしない場合では
どう違うのでしょう

仮に3つの球を1つずつ3組に分ける場合
ABCという3つの組に分けるのであればどうなるでしょう?(3!ですね)
一方、組を気にしない場合には組み合わせは一通りですよね

上の答えではすでに順に3つを掛け合わせていますから
ABCの組に分けてしまっているわけです。
つまりあるパターンにおいて最後にのこった4つをとる組と
違うパターンで最初に12個から同じ4個をとった組とを同じと見るか
違うと見るかそこの違いです。

理解できましたでしょうか?
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