全員と同じグループを経験できるようにグループ分け

友人から相談されました。
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12人のメンバーを、3人グループで4つのグループに分けたいです。
1か月ごとにメンバーチェンジをして、全員と同じグループを経験できるようにしたいです。
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※いろんな人と交流したいということですので、
自分以外の11人と一度は同じグループになるようにしたい、
それが最小何回でできるだろうか、ということです。

考えてみたのですが人数が多くてよくわからなかったので、
ためしに6人で2人ずつ3グループの場合で考えてみました。
[AB][CD][EF]
[AC][BE][DF]
[AD][BF][CE]
[AE][BD][CF]
[AF][BC][DE]
の、5通りで全員と同じグループになれます。（もし違いましたら、教えてください。）
これを数学的に計算するにはどうしたらいいでしょうか？
6C2×4C2÷3!　と考えてみたのですが、
＝15になり、数が合わない・・・ということは、式が違うのですよね。
6C2　・・・6人の中から2人を選ぶ
4C2　・・・残り4人の中から2人を選ぶ
÷3! ・・・3つのグループは区別しない
と、考えてみたのですが・・・どのように考えたらいいのか、教えてください。

また、できたら上記の12人の場合もご教授ください。

どうぞよろしくお願いします。

No.2 回答者： gef00675 回答日時： 2009/05/12 17:29

６人を３つに分ける場合は５回であってると思います。

12人を４つにわける場合を考えてみると、ある人Aが全員と対面するには、ABC ADE AFG AHI AJK ALBのように、最低６回必要です。ABが１回ダブっていますが、これは避けられません。そこで、６回で全員が対面できるかどうかが問題になります。７回やれば、
ABC DEF GHI JKL
ADG BEJ CHL FKI
AHJ DIL BFG CEK
AEI BDH CFJ GKL
AFL BIK CDG EHL
AHK BEL CFI DGJ
ADK BEG CFH DIJ
で、全員が対面できます。全員が対面する組み合わせは全部で12*11/2=66通りあり、一回のグループわけで3*4=12通り対面するのですが、同一の人との対面を極力減らしたとしても、６回で終わるかどうか。。。？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

Aさんだけで考えるのでしたら、書いて頂いた通りだと思います。

＞同一の人との対面を極力減らしたとしても、６回で終わるかどうか。。。？
そこを、どのように極力減らせるのか、わからないでいます。

12人分まわるように書いて考えるのは難しくって・・・
計算方法がないものでしょうか。

お礼日時：2009/05/14 23:45

No.1 回答者： nattocurry 回答日時： 2009/05/12 16:37

その計算だと、6人で2人ずつ3グループに分けるときの、すべての場合の数を求めることになりますね。

[AB][CD][EF]
[AB][CE][DF]
[AB][CF][DE]
：
：
[AF][BC][DE]
[AF][BD][CE]
[AF][BE][CD]

「最小何回」というのを考慮していない数字です。

[AB][CD][EF]
[AC][BE][DF]
[AD][BF][CE]
[AE][BD][CF]
[AF][BC][DE]

これより、最小の回数が5回であることは、間違いないと思います。

この場合、DとEを交換しても、DとFを交換しても、最小の回数になりますよね。

その3パターンで、さらに15を割ると、欲しい値の5が求められます。

では、12人で3人ずつ4グループに分ける場合はどうすれば良いか。
・・・解りません(笑)

予想としては、
[ABC]のときの他のグループ分けは1種類。
[AKL]のときも他のグループ分けは1種類。
と考えて、
[ABC][ABD][ABE]・・・[AKJ][AKL]の11×10＝110通りのような気もするし、
[ABC][ACD][ADE][AEF]・・・[AKL][ALB]の11通りのような気もするし・・・

・・・だんだん面倒になってきたので、これで失礼します。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞この場合、DとEを交換しても、DとFを交換しても、最小の回数になりますよね。

その通りです。
具体的に表して頂いた通り、書いてみてそこはわかったのですが・・・
数学的に、「最小何回か」というところを求めるには
どのように考えたらいいんだろう、と悩んでいます。

数が増えた場合も同様の計算方法があれば！と思い、
このあと9人グループの場合等で検討してみたのですが
今一つわからないでいます。

ご面倒をおかけしました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/14 23:41