No.2ベストアンサー
- 回答日時:
端的な答えとしては、両方ありえます。
ところで、1+√2が無理数であるかどうかがわからないということですが、1が有理数、√2が無理数であることがわかっているとして、証明してみましょう。
√2は無理数,1は有理数を既知とする。
1+√2が有理数だと仮定すると、整数p,qを用いて、
1+√2=q/p
とあらわすことができるような整数の組p,qがあることになる。
ところが、左辺の1を右辺に移項すると、
√2=q/p-1=(q-p)/p
となる。整数は加減乗法に関して閉じているため、(整数同士をかけてもたしても整数)q-pは整数。
よって、(q-p)/pは有理数(∵q-p,pが整数)
よって、√2は有理数。
これは、√2が無理数であるとの仮定に反する。
よって、1+√2は無理数。
ってな感じです。同じ調子で、一般に、tを無理数,aとbが有理数としたとき、a+btが無理数であることを証明することができます。
で、無理数から無理数を引くとどうなるのか、という話ですが、t,sを無理数、a,b,c,dを有理数とすると、a+bt,c+dsは、前述のように無理数になります。ここで、
(a+bt)-(c+ds)と引き算を作ってやると、
式A (a+bt)-(c+ds)=(a-c)+(bt-ds)
となりますね。ここで、
1)bt-ds=0の時、
式A=(a-c)+0=a-c
a-cは、有理数同士の引き算なので、有理数になります。
2)bt-ds≠0のとき、
式A=(a-c)+(bt-ds)
a-cは、有理数同士の引き算なので、有理数になります。
bt-dsは、無理数同士の引き算なので、無理数になります。
よって、式Aは無理数です。
というわけで、bt-ds=0のときのみ、有理数になりますね。
この回答へのお礼
お礼日時:2005/06/08 19:02
たくさん勉強の対象をいただいたご教示を感謝いたします。背理法は特に勉強したいと思っておりましたので助かります。ありがとうございました。
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