1/(b+c-a)+1/(c+a-b)+…

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質問者：katadanaoki
質問日時：2012/07/30 00:37
回答数：1件

a,b,cを三角形の3辺の長さとすれば、

1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c)

の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： ferien
回答日時：2012/07/30 02:20

＞a,b,cを三角形の3辺の長さとすれば、

ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ，ａ＋ｂ＞ｃが成り立つから、
Ａ＝ｂ＋ｃ－ａ＞０，Ｂ＝ｃ＋ａ－ｂ＞０，Ｃ＝ａ＋ｂ－ｃ＞０　とおくと、
１／Ａ＞０，１／Ｂ＞０，１／Ｃ＞０

＞1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c)
相加平均・相乗平均より、
（１／Ａ）＋（１／Ｂ）＋（１／Ｃ）≧３・3√（１／ＡＢＣ）
Ａ＋Ｂ＋Ｃ≧３・3√ＡＢＣ
ここで、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ａ＋ｂ＋ｃ
上の２つの不等式を左辺・右辺同士で掛け合わせると、
｛（１／Ａ）＋（１／Ｂ）＋（１／Ｃ）｝・（ａ＋ｂ＋ｃ）≧９・3√１＝９
よって、
1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) + 1/(a+b-c)≧9/(a+b+c)

でどうでしょうか？