効用関数からの消費量

効用関数がU=X^2 * Y　で
予算制約式が2000X+1000Y=100000
と与えられていて
XとYの消費量を求め、図示しなければならないのですが
どうしていいのかわかりません。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2005/07/13 19:39

XとYのグラフを書いて、ということなので、その観点から回答します。

まず、縦軸にY、横軸にXをとります。すると無差別曲線は
Y = U / (X^2)
となります。このグラフは双曲線のような形をしています。さらに予算制約線は、(0,100)、(50,0)を結ぶ直線になります。
この両者が接する点で(X,Y)が求まります。

この接点を求めるのは、グラフ上では難しいので、数式を解いて求めます。＃１の方と別の方法としてラグランジュ乗数法を説明します。
L = X^2 Y + λ(100000 - 2000X - 1000Y)
とおきます。この関数をX、Y、λについて偏微分（微分しない変数を全て定数として微分する）して０とおきます。すると
2XY - 2000λ = 0　...(1)
X^2 - 1000λ = 0　...(2)
100000 - 2000X - 1000Y = 0　...(3)
という三本の連立方程式が得られます。(1)式、(2)式からλを消去すれば X=Y が直ちに求まりますし、(3)式に代入すれば数値も求まります。

この回答へのお礼

グラフに関してと、別解法、
とても丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2005/07/20 10:37

No.1 回答者： guowu-x 回答日時： 2005/07/13 18:54

予算制約式より

２X＋Y＝１００
Y=100-2Xとして
U=X^2*Y
に代入。
U=X^2*(100-2X)
Xで微分して０とおくと
２００X+６X^2＝０
X≠０より
２００＋６X=0
というようにしてXを求める。
Xが求まったら、予算制約式に代入してYを求める。

計算は間違ってるかもしれないので自分でフォローしてください。