内項の積は外項の積に等しいというのは定理になるのですか

これが定理ならば証明しなければ使ってはいけないものですか。証明することが必要ならば考え方のヒントを教えていただければありがたいと存じます。この定理（？）はアナロジーの原理そのもののようにも思っているのですが・・・

No.2 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/09/02 17:38

普通は定理と言っていいと思います。

ただ、日本の教育課程では中学（現在だと1年）配当の単元なので、あまり厳密な証明などしない、というのが現状です。定理という言葉はたしか三平方の定理がさいしょじゃなかったかしらん。この定理はアナロジーの原理なのではなく、まだ論理的説明になじみきれない中１を相手の説明なのでアナロジー的になるだけです。

ちなみに、a:b=c:dは、歴史からいうとa/b=c/dのことです。（ギリシア数学起源。比と比の値を区別しない国、言語が現在もあります）

さて証明ですが、等式の変形はその発生においては類推(アナロジー）というよりも経験則ですが、現代の数学では公理の一部と考えるのが通常です。（無論そうしない流儀もありますが、まあこれも通常中学～高校ぐらいなんで、そこまで抽象化しても、ね）
で、a/b=c/dは、両辺にbdをかければad=bcとなり、定理の証明終わりです。

むろん現代の数学では公理と定理、定義は相対的なものなので（外項の積=内項の積）を比の相等の定義におくことも可能ではありますが、不自然なので、まじめにそうやるひとはいないとおもいますが。

この回答への補足

私がアナロジーの原理かと思った理由は数学に限らず何かを理解しようとするときに未知の系の中で理解できるものをcとし、わからないものをxとすると、既知の系のaのbに対する関係はcのｘに対する関係と同じかなというようにアナロジーを用いるのが考えるということかなということです。もちろん数学の理解にも適用できないかとも考えています。

補足日時：2005/09/03 10:29

この回答へのお礼

ご丁寧に説明を頂き、ありがとうございました。

お礼日時：2005/09/03 10:40

No.4 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/09/03 21:38

等式ごと全部を定義したと言っても、それは定義の範囲だと思います.公理と解するわけではないと思います.

だから、等式を定義すると言うよりも命題の表し方を定義すると言った方が適切なのかもしれません.けど、命題の記述の仕方を定義するというのは、(普通の)数学的対象を定義することと区別した方がいいかもしれません.

ところで比例式は
　a:b=c:d=e:f は　a:b=c:d　且つ　c:d=e:f
　a:b:c=d:e:f は　a:d=b:e=c:f
と定義すればいいかもしれません(4つ以上も同様)

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1460173

この回答へのお礼

私にとっては、数学というものは難しいことはもとよりやさしそうなことでも難しいと思います。ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2005/09/05 13:03

No.3 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/09/03 17:44

2様の説明は正しいと思います

ところで、a:b=c:d の定義についてはlim(a(n))=aの定義みたいに、a:bを直接、定義するような感じでないと思います.　a:b=c:d　全部を定義してる感じだと思います.
で定義の仕方が　a/b=c/dよりも　ad=bcを採用することでb,d=0の場合にも対応できるようになります.

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。全部を定義というのは無定義とは違うのですね。勉強させていただきます。

お礼日時：2005/09/03 18:13

No.1 回答者： keiryu 回答日時： 2005/09/02 15:21

　比が等しいことをどう定義するかでも、説明のしかたはいろいろでしょう。

　ある前提を立て（公理・定義）それをもとに推論した結果出てくる命題は「定理」と言っていいでしょう。
　どこを議論の出発点にするかでいろいろ議論が出来ると思います。
　例えば、
　「前項と後項に同じ数を掛けて出来る比は等しい」と比の相等を定義すれば、このことを使って、内項と外項の積が等しいことは、容易に説明できると思いますが。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。アナロジーの原理を保障してくれる重要な事実であると思っておりますので経験的に正しいだけでなく根拠を知りたかったのです。勉強させていただきます。

お礼日時：2005/09/02 16:10