
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
正則関数なので、わざわざロピタルの定理を拡張するまでもなくテーラー展開して終わりでしょう。
ここでは簡単のためにfもgもz=αで1位の零点を持つ場合について少しだけ書きますが、そのほかの場合も同様です。
f,gはz=αの近傍で正則だから、z→αのとき、
f(z)=f(α)+f'(α)(z-α)+O((z-α)^2)
g(z)=g(α)+g'(α)(z-α)+O((z-α)^2)
とできます。Oはランダウのラージ・オウ。仮定からf(α)=g(α)=0、f'(α)≠0、g'(α)≠0です。したがって、
f(z)/g(z)={f'(α)(z-α)+O((z-α)^2))}/{g'(α)(z-α)+O((z-α)^2))}
分母分子を(z-α)^3で割って、O((z-α)^2))/(z-α)^3→0(z→α)に注意すれば示したいことが言えます。
要は正則関数において、その比は、テーラー展開したときの最小次数の係数だけに依存するのです。
No.2
- 回答日時:
♯1です、訂正。
うっかりして下から二行目間違えていました。分母分子を(z-α)^3で割って、O((z-α)^2))/(z-α)^3→0(z→α)に注意すれば示したいことが言えます。
↓
分母分子を(z-α)で割って、O((z-α)^2))/(z-α)→0(z→α)に注意すれば示したいことが言えます。
の間違いです。要するに残りの部分は(z-α)^2をすべて因数に持つので、(z-α)で1回割っても、z→αのとき0に収束する、ということです。
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