相対速度の正負

Question

速度v0で進んでいる質量M+mのロケットから、質量mの燃料を進行方向とは逆向きに噴射します。噴射直前のロケットに対する燃料の相対速度をu、噴射後のロケットの速度をvとします。

上の文章はある大学の入試問題からの抜粋（わかりやすいよう省略等しています）です。解説に、「本問の相対速度は記述が曖昧なため、正としても解釈できるし、v0やv同様の進行方向を正とする軸を基準とするならば負として解釈することも出来る。だから自分で解釈をまず書くべきである。」と書いてあったのですが、これを読んでいるうちに相対速度の正負は何を基準にして決めれば良いのかがわからなくなってしまいました。教えてください。

kentarou2333 · Accepted Answer

主に、No3 さんへの補足に対する回答です。

相対速度の場合は、考えている系（基準座標系）が他と異なるため大きさだけに着目する事が多くなります。

また、速度というのはご存知のように大きさと向きを持っています。「相対速度を u」というのを厳密な表記にすると、「相対速度ベクトルを u」という表記になってしまい、問題の記述はもとより、回答にも厳密さを追求するあまりにあまりにも煩雑なものとなってしまいます。

２次元以上の運動を考えるときは、ベクトル表記になると思いますが、実際は一軸上の運動のみを考える場合が多いので単に正負によって方向を表現してしまうので、向きの概念があいまいになってしまっているのだと思います。

一応、本来の質問に戻って、「相対速度の正負は何を基準に」ということですが、特に基準がないから、今回の解説のようにどちらでも解釈ができるのですし、どちらかさえはっきりさせれば、単に回答者の考えやすい方でやればよいと思います。

shkwta · Answer

「噴射直前のロケットに対する燃料の相対速度をu」と書いてある時点で、uは負で決まりです。

Ａに対するＢの相対速度とは、

（Ｂの速度）－（Ａの速度）

です。
さて、ロケットの進行方向を正とします。「噴射直前のロケット」とはまだ噴射していないのだから、速度はv0 のはずです。噴射した燃料の速度をwをすると、上の式から

u = w - v0

となります。燃料はロケットの後方に離れていくので、w＜v0 です。したがって、u＜0　です。
つまり、この問題では、uを負です。そして、

w = v0 + u

として運動量保存則を適用します。

しかし、uを正として計算しようと思えば（式の中でuにつける符号を変えるだけで）できるので、どう考えたか答案に明記せよというのが解説の趣旨と推測します。それでも正しい答えがでます。しかし、uを正とするのは、どちら向きを正とするかが混乱するのでお勧めしません。

noname#17965 · Answer

・ｕは大きさを示す（ｕ＞０）方向はロケットと反対
・ロケットの進行方向を正とする。ｕは方向も伴う量とする（つまりｕ＜０）

どちらにするのか書いてませんね。そこを指摘してるのでしょう。大したことじゃないです。決めればいいのです。なんか、いかにも欠陥問題のように大げさに書くから分からなくなるんです。

この問題ならｕをプラスの数字として考えるのが適当かなぁと私は思います。もちろん、無理矢理ロケットの進行方向と反対方向を正にすることも出来ます。ちょっとややこしいですが。

結論を言うと、自分の好きな方向に座標軸を定めればいいのですが、どんな問題でも「直感的」に分かりやすい方向にすべきです（ここではロケットの進む方向）。パッと見て分かりやすいからです。

endlessriver · Answer

ｕのベクトル記号としての方向をどちらにするか明確に記述せよといっているようですがわざわざ燃料の速度座標だけを反対にとるのはひねくれ者です。

問題の本質はそんなことではないはずなのでそこまでいけばとんち問題の領域で災難と言うしか無いでしょう。

sqwe-ir · Answer

v0M+m－mｖ１＝U

この際－mｖ１は考えない。
必ず－mｖ１は進行方向に－の推力だからだ。

V0＝－１００ｍ／ｓとすると、
進行方向と逆向きにV1（１０ｍ／ｓ）を推力に加えれば計－１１０ｍ／ｓ
V
0＝１００ｍ／ｓとすると、
進行方向と逆向きにV1（１０ｍ／ｓ）を推力に加えれば計９０ｍ／ｓ

あたしゃ
めんどーだからv0を正の数値に限定して単純けーさんする。
多分方程式は狂う事もねーべ。＾＾；

相対速度の正負

「噴射直前のロケットに対する燃料の相対速度をu」と書いてある時点で、uは負で決まりです。

・ｕは大きさを示す（ｕ＞０）方向はロケットと反対

ｕのベクトル記号としての方向をどちらにするか明確に記述せよといっているようですがわざわざ燃料の速度座標だけを反対にとるのはひねくれ者です。

この回答への補足

v0M+m－mｖ１＝U

主に、No3 さんへの補足に対する回答です。

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