convolution について

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質問者：ugoo
質問日時：2001/11/13 20:12
回答数：2件

convolution f*g の定義を
f,g∈L^1(R^N) に対して
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
としてありました。

f*g = ∫f(x-y)g(y)dy
において x-y = t とおいて置換積分すると
∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(t)g(x-t)(-dt) =-∫f(t)g(x-t)dt
tをyと見れば、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = -∫f(y)g(x-y)dy
となる気がします。
定義式の符号に - がないのはなぜですか？

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： stomachman
回答日時：2001/11/14 02:37

> f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy

この積分はどちらもたとえばy=-∞～∞の定積分でなくちゃいけません。

nanjamonjaさんが仰っている通り、
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=∞～-∞の定積分）
であり、従って、
f*g = ∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=-∞～∞の定積分）
なの。

　また、周期的コンボルーションの場合にも、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
の積分がどちらもたとえばy=-π～πの定積分であり、置換をやると
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=π～-πの定積分）
　　= ∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=-π～πの定積分）
ということになります。