convolution f*g の定義を
f,g∈L^1(R^N) に対して
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
としてありました。

f*g = ∫f(x-y)g(y)dy
において x-y = t とおいて置換積分すると
∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(t)g(x-t)(-dt) =-∫f(t)g(x-t)dt
tをyと見れば、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = -∫f(y)g(x-y)dy
となる気がします。
定義式の符号に - がないのはなぜですか?

A 回答 (2件)

> f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy


この積分はどちらもたとえばy=-∞~∞の定積分でなくちゃいけません。

nanjamonjaさんが仰っている通り、
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=∞~-∞の定積分)
であり、従って、
f*g = ∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=-∞~∞の定積分)
なの。

 また、周期的コンボルーションの場合にも、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
の積分がどちらもたとえばy=-π~πの定積分であり、置換をやると
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=π~-πの定積分)
  = ∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=-π~πの定積分)
ということになります。
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この回答へのお礼

yについての定積分だったんですか・・・
本には積分領域がかかれてなかったので不定積分と思っていました。
ありがとうございます。

お礼日時:2001/11/14 10:23

 置換すると、積分区間(-∞,∞)が逆になるので戻すと-が出てきます。

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この回答へのお礼

なるほど、確かにそうですね。
よくわかりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2001/11/14 10:28

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