空間図形

成り立つ問題なのですが、どうして成り立つのかよくわかりません
御願いします
(1)同じ平面に垂直な2直線線は平行である。
どうして垂直な２直線は平行と言えるのですか？

(2)平行な平面に1つの平面が交わるとき、交わって出来る交線はたがいに平行である。
そうして平行といえるのですか？

(3)平行な２直線の１つに垂直な平面は、他の直線にも垂直である。

他方の直線に垂直の意味がよくわかりません。
2つの直線が垂直なのではないのでしょうか？

No.3 回答者： tom1102 回答日時： 2005/10/14 01:08

こんばんは。

回答を載せてしまうのはまずいかもしれないのでヒントを。
boku115さんが高校レベルの空間図形の知識はマスターしていることを前提に話をします。

(1)まず、平面の傾きを定めるのは法線ベクトルです。そして、法線ベクトルは平面に対して垂直なベクトルです。
また、直線の傾きを決定するものは方向ベクトルです。この方向ベクトルの向きは直線と平行です。
よって、平面に対して垂直な直線の方向ベクトルは、その平面の法線ベクトルと平行になります。
ということは…

(2)平面と平面の交線は直線になります。このとき、直線は平面上に存在するので、それぞれの平面の法線ベクトルと垂直になります。つまり、直線の方向ベクトルは二つの法線ベクトルと垂直になります。
ここで、互いに平行でない二つのベクトルに対して垂直なベクトルは(大きさを無視して向きだけ考えると)一つしか存在しない(180°逆向きのベクトルを考えれば二つですが。)ので、直線の傾きは一意に定まります。
また、平行な平面どおしでは当然ながら、法線ベクトルは同じ向きになります。
ここから先はご自分でお願いします。

(3)これは(1)を逆に考えるだけです。

もう少しヒントが必要であればおっしゃってください。
まぁ、No.1の方の書かれているように、図を描くのが一番手っ取り早いかもしれませんけどね。

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/13 17:19

質問者さんの分かる範囲の解答をお示しください。

ヒント）
ひとつの平面上の平行線の定義にもどって考えてください。
平行線の定義
錯角が等しい、
同位角が等しい
のいずれかがいえればいいですね。

(1)、(2)平行線を含む平面の取り方と
その平面上で並行線と交わる第３の直線をどこに取ったらよいかを考えてください。

(3)平行線を含む平面で、
その平面と平行線の片方と垂直な平面との交線を
平行線と交わる第３の直線として、平行線の定義を適用してみてください。

No.1 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2005/10/13 17:07

いずれも、「実際に図を書いてみてください」というのが、一番いい回答のような気がしますが。

１）
「垂直な２直線は平行」とはいっていません。
「同じ平面に垂直な２直線」が平行になるのです。
単純には（平面上の方法ですが、考え方は同じです）
・直線を一本引いてください。
・その直線に垂直な線を２本引いてください。
・後で引いた２本の線は平行ですね？

２）
これも図を書いてみてください。
ただ、「同一平面上にある交わらない２直線は平行である」というのが使えるのであれば、
・平行な平面に他の平面が交わって出来た直線（２本）は、「他の平面」の上にある
・しかも、平行な平面上にある
・なので、「同一平面上にあって交わらない直線」であり、平行
とも言えます。

３）
これは、１）の「逆」です。
・平行な直線（２本）を引いてください。
・２本のうちのいずれか一本に垂直な直線を引いてください
・これは、最初に引いた２本の平行線の、「他の直線」に対して垂直ですね？