差積Δ(定義は下の通り)に互換をほどこすと、-1倍されることを
証明しようと思っています。
【差積Δの定義】
Δ=Π(Xi-Xj)
(※1≦i<j≦n)
【互換】
XiとXjの2つだけを交換するという置換のこと。(i,j)と表す。
つまり証明したい事を式で表すと
(i,j)Δ=-Δ
です。
________________________
今のところ次のような方針で証明をしようと考えました。
(1) となり同士の互換、つまり(i,i+1)Δ=-Δを示す。
(2) 任意の互換は(i,i+1)を含む互換の積で表せることを示す。
(3) (1)(2)より(i,j)Δ=-Δを示す。
________________________
それぞれ感覚的には理解できたのですが、それをどう書いていいのか分からず、困っています。
どなたか、この方針で、証明を教えていただけないでしょうか。お願い致します。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
ご質問の方針ではないのですが
帰納法を使うと簡単ではないかと思います.
差積
Δ = Π(X[i] - X[j]) (1≦i<j≦n)
を Δ_n のように書くと
n=2 のとき
(1,2)Δ_2 = (X[2]-X[1]) = -Δ_2
となるのはすぐにわかります.
つぎに,n=k のとき (i,j)Δ_k = -Δ_k を仮定して
Δ_{k+1} = Δ_k * Π(X[i] - X[k+1]) (1≦i≦k)
に (i,j) を作用させると-1倍されることを
j≦k と j=k+1 に分けて証明すればよいと思います.
No.1
- 回答日時:
ご質問にある方針とは違う、すんげえ泥臭いやり方で考えました。
Δのどの因子(Xi-Xj)も、二つの項Xi, Xjが i<jになるように並んでる訳です。
ここで 1 ≦ p < q ≦ nであるような任意のp,qに注目して、XpかXqを含んでいる因子だけ取り出してみます。
Xpを含んでいる因子については、
(i=1,.....,p-1)に関しては (Xi - Xp)
(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xp - Xi)
(i=q+1,....,n)に関しては (Xp - Xi)
ってことになってて、
Xqを含んでいる因子については、
(i=1,.....,p-1)に関しては (Xi - Xq)
(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xi - Xq)
(i=q+1,....,n)は (Xq - Xi)
になってる。そして(Xp-Xq)という因子があります。
で仰る所の互換(p,q)を行ったとしますと、
(1)もちろん XpかXqのどちらかが入っていないような因子には変化がありません。
(2)互換によってXqを含んでいるようになった因子については、
(i=1,.....,p-1)は (Xi - Xq) ---- もとと同じです。
(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xq - Xi) ----全部、符号が逆に成っちゃいました。
(i=q+1,....,n)に関しては (Xq - Xi) ---- もとと同じです。
(3)また、互換によってXpを含んでいるようになった因子については、
(i=1,.....,p-1)に関しては (Xi - Xp) ---- もとと同じです。
(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xi - Xp) ----全部、符号が逆に成っちゃいました。
(i=q+1,....,n)は (Xp - Xi) ---- もとと同じです。
になってる。
(4)そして(Xq-Xp)で、これも符号が逆転しました。
つまり符号が逆になった因子の個数は、2(q-p-1)+1。奇数である。だから、 (p,q)Δ=-Δ
~~~~~~~~~~~~~~~
ついでに。
(1) n個のものの並べ方を変えるのを置換と言います。n個のもののうち一対の要素だけ入れ替えるのが互換です。そして、任意の置換は互換の積で表現できます。
(2) 互換を奇数回やってできる置換はどれも、互換を偶数回やってもできません。また、互換を偶数回やってできる置換はどれも、互換を奇数回やってもできません。
ですから置換は、互換を奇数回やってできる置換(奇置換)と、互換を偶数回やってできる置換(偶置換)に分類されます。
さてご質問において、互換だけじゃなく置換まで広げて考えてみましょう。つまり、置換をCと書く事にすると、
CΔ = (Cが偶置換ならΔ, Cが奇置換なら-Δ)
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