しつこくてすみません。mori0309です。
バナッハ-タルスキーの定理って何ですか?
自分で調べるべきなんでしょうけど、他の方たちにも
この魅惑の世界を知っていただきたいです。
またまたstomachmanさんお願いします。
(急ぎでないです)
もちろん他の方でもOKです。

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A 回答 (2件)

バナッハ-タルスキーの定理。

これについては、そのものずばり「(砂田利一)バナッハ・タルスキーのパラドックス」という秀逸な一般向け解説書があります。この定理のキモである「選択公理」や「無限」「存在証明」を丁寧に解説してあります。さて....

●「3次元の実数空間(つまり(x,y,z): x,y,zは実数)の中で、半径1の球体(中身が詰まっている)を考えます。この球体を(ある内緒の方法で)有限個の部分集合に分割します。(つまり重複も余りもないように分けます。)そして、これらの部分集合それぞれの形は全く変えずに、ただ(ある内緒の方法で)向きを変え、並べ替えて上手に組み合わせると、半径1の球体(中身が詰まっている)を2個作れます。」
 これがバナッハ-タルスキーの定理です。
 金でできた球体を2倍に増やす方法を早く知りたい、と思うのはあなただけではありません。実は「ある内緒の方法」というのは「存在することは証明できるが、やり方は分からない。」不可知なんです。
 
●金の球体は、たかだか有限個の金の原子の集まりです。実数の個数どころか、自然数の個数どころか、たかが有限個に過ぎない。数学的な球体とは全然別物です。だから仮に「ある内緒の方法」が分かったとしても、金の球には使えませんね。

●また、体積という概念も実はええかげんなものです。実際、金の原子の並んでいる間隔を変えるだけで球は大きくなる。加熱してやればいいんですね。ましてや、表面積なんてものは(原子や素粒子のサイズまで考えれば)幻想としか言いようがない。

●3次元の実数空間や、幾何学図形は、我々の住む空間や物の形のモデルとしてとても役に立ちますが、適用出来る限度というものがあるようだ。そういうことです。

 なお、バナッハ-タルスキーの定理を「球体を有限個の部分に切り分けて並べ替えると....」と表現することがありますが、たとえば数直線を「小数点以下1桁目が1のもの」と「それ以外」に分けると、(集合としては2つに分けたんですが)手に持てるような部品2個にはならず、ばらばらに切れた無限個の「部分」になってしまいますよね。「バナッハ-タルスキーの定理において、有限個の、連結した部分集合に分けられる」という証明があるんでしょうか?これは知りません。(多分無理だと思います。)

おおっと、おあとが宜しいようで...

この回答への補足

stomachmanさん、ほんとに、ほんとに、すみませんでした。そして、ありがとうございました。無理なお願いをきいていただいて。
自分なりに理解できたら、またお礼の投稿をさせていただきます。

補足日時:2000/12/16 17:26
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この回答へのお礼

さっぱり理解できません。(あたりまえですね)でも、面白くてしょうがないです。
(例によってひとり言です)
本当に球体の体積が2倍になるのですか? どこかにオチのあるパラドックスなのですか?
「バラして組み合わせる」というのがトリックなのかな? 無限級数なんかは順序を入れ替えると
結果がぜんぜん違うことがあるから。(やっぱりちゃんと本を読みます)
ありがとうございました。

お礼日時:2000/12/18 22:39

選択公理を認めた以上は、紛れもない定理です。

オチがないんですよ。
これは幾らなんでも直感に合わない。パラドックスじゃないの、というんで、選択公理に制限を加えてみたり、色々な試みがなされています。しかし現代では、選択公理を平気で使う、というのが主流のように思えます。
同様に「連続体仮説」も、肯定も否定もできない、つまり公理として加えるかどうかで数学のパワーが変わる、という種類の命題(独立な公理)であることが知られています。

おっとと:
連続体仮説=「「可算無限個(自然数の個数=濃度Aと言う)の要素を持つ集合」のあらゆる部分集合を要素とする集合」の要素の数は、非可算無限個(実数の個数=濃度Cという)と一致する。」
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この回答へのお礼

ありがとうございました。連続体仮説も「無限」に興味がかきたてられます。

お礼日時:2000/12/19 08:29

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Qラッセルのパラドックスでのx ∈/ xはどういう意味?

宜しくお願い致します。

ラッセルのパラドックスというのを知りました。

『条件C(x)を満たすxの集合,{x|C(x)}はC(x)の対して一意的に定まる。
この集合をYと書く事にすれば任意のxに対してx∈Y⇔C(x)が成立つ。
今、C(x)として x∈/x を採れば集合{x|x∈/x}とする時、…』

と記載されているのですが
「x∈/x」の意味が分かりません。
"∈"の記号は片方が元で片方が集合でないといけないと思うのです。
「x∈/x」は双方とも元なのでこの記号は無意味に思えるのです。
「x∈/x」はもしてして「x∈/{x}」の意味なのでしょうか???

Aベストアンサー

> それで自分自身を含まない集合の集合をXとすると
> X∈XならX∈/Xでなければならないし、
> X∈/XならX∈Xでなければならないという矛盾がはっせいしますね。

矛盾するということは,何かがいけないわけですが,
「集合の全体Uが集合である」と仮定したのがいけないのです。
もっと追求すると,x∈x となるxは集合として認められないということになります。
このことは,次のように説明できます。
 「xはどんな集合か?」と訊かれたら,「...のような要素を集めたもの」と答えますが,その中にx自身があると,「そのxはどんな集合か?」となり,循環論法に陥ってしまい,xをきちんと定義できないからです。

Qバナッハ・タルスキーの定理について、教えて下さい

バナッハ・タルスキーの定理
http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/banachtarski.html

数学は全く苦手なので、この定理のことも全然理解出来ていないのですが、
ただ、この定理を使って、実際の物質を2つにしたり大きくしたりすることは
無理だとしても・・・

例えば経済の分野に何かの形で応用する (経済も数字を扱う分野だと思うので)
というようなことは、出来ないでしょうか?

Aベストアンサー

「この定理を現実に適用して、何かを増やせる」という記述をお探しなら、そういうものはあまり沢山は見つからないでしょう。間違いだからです。これは発想が貧弱だからではなくて、もうちっと根源的な話です。

問題の定理は
「3次元の球を有限個の部分集合に分割してそれぞれを回転する操作のうちで、元の球と同じものをもうひとつ作るような操作が存在する」ということです。

(1) たとえ分割の仕方が具体的に分かっていたとしても、その分割が現実の操作としてできるとは限りません。
例えば、「長さ1の線分を二つに分ける」ということは、「針金を切って二つに分ける」というのとは全然違います。実際、長さ1の線分[0,1]を部分集合{(1/2,1], (1/4, 1/3],(1/6, 1/5], …}とそれ以外との二つに分けることはできるけれど、針金をこのように分けることは出来ません。
 問題の定理が適用できるためには、その対象は最低限、無限個の要素を含んでいなくてはなりませんが、現実にはそんなモノはありません。

(2) 問題の定理は「何でも2倍にできる」と言っているのではない。この定理はあくまでも3次元の球についての話です。実際、2次元の球(つまり円盤)についてはこの定理が成り立たないことが分かっています。
現実には数学で言う「3次元の球」や「2次元の円盤」や「1次元の線分」は、モノとしては存在しません。なので、問題の定理は現実のモノには適用できません。

 で、「経済だって、『現実のモノ』ではなくて仮想の観念だ」という言い方が出来るというのが、ご質問に経済が出てきた理由なのでしょう。
  もし問題の定理が実際の経済に何らか効果を及ぼすのであれば、その効果は通貨に換算できるはずです。ということは、「この定理は通貨に適用できる」ということに他なりません。しかし、通貨は無限個の要素すら持っていません。まして数学で言う「3次元の球」や「2次元の円盤」や「1次元の線分」が持つような変換や構造を持っていません。「通貨を回転する」という表現ができたとしても、その回転が「数学で言う回転」の性質を満たさなければ、それは「名前がたまたま同じ」というだけのことです。

(3) 問題の定理によれば、3次元の球を2倍にするやりかたが存在するのは確かだけれど、そのやりかたは分かりません。
 もちろん、もしも経済において「『数学で言う3次元の球』とみなせる観念X(それは無限個の要素を持ち、分割でき、回転できる)」があるのなら、その観念に問題の定理を適用することは可能です。そうして得られるのは、「ある観念Xを2倍にする方法が(どうやるかは分からないが)存在する」という命題であって、何か(モノどころか観念すら)が2倍になることはありません。

「この定理を現実に適用して、何かを増やせる」という記述をお探しなら、そういうものはあまり沢山は見つからないでしょう。間違いだからです。これは発想が貧弱だからではなくて、もうちっと根源的な話です。

問題の定理は
「3次元の球を有限個の部分集合に分割してそれぞれを回転する操作のうちで、元の球と同じものをもうひとつ作るような操作が存在する」ということです。

(1) たとえ分割の仕方が具体的に分かっていたとしても、その分割が現実の操作としてできるとは限りません。
例えば、「長さ1...続きを読む

Q人類は衰退しました。 タイムパラドックス

ネタバレ最小限度で行きたいのです。
「人類は衰退しました。」をお読みの方 ちょっとズルさせて下さい。
第7話「妖精さんたちの時間活用術」の中の「イヌ」ですが。
「paradox」≒「para」(沢山の)「dogs」(イヌ達)なんてネタでしょうか?
「paradox」を実体化するコトで回避する。
個人的には(シュレディンガーの)ネコの方が好みですけど。。。

質問:第7話「妖精さんたちの時間活用術」の中の「イヌ」は何か意味が有るのでしょうか?

Aベストアンサー

本当の所は,作者にしか分らないでしょう。
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妖精さんたちはクローンを拒否されたので,女の子を多数実体化する為に,タイムループする空間を造り上げた。
目的を果たした後,空間を閉じたか消滅する時に,1人だけ連れて来たか(腕時計が無くなったのが判断理由)統合した。
その空間に犬が巻き込まれて、増えていったのだが,妖精さんたちは興味が無いから,そのままにしておいた。
「犬が増えて,何か被害がアルですか?」って感じで。

Qパップスの中線定理(スチュワートの定理)、二等分線の定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%B7%9A
によると、

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とすると、スチュワートの定理より以下の式が成り立つ。
4m^2+a^2=2(b^2+c^2)
∴m=√(2b^2+2c^2-a^2)/2

となることは分かります。次に、

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂角Aの二等分線とBCの交点を結ぶ線分の長さを n とするとき、この n をa,b,cのきれいな式で表したいのですが、どのような式になるのでしょうか?

Aベストアンサー

∠A=θ、∠Aの二等分線とBC の交点をNとすれば、
面積公式から
bnsinθ+cnsinθ=bcsin2θ=2bcsinθcosθ
sinθでわって、(b+c)n=2bccosθ・・・☆

一方、BN:NC =c:bより、BN=ck、NC=bk
とすれば、BN+NC=aからk=a/(b+c)
よって、NC =ab/(b+c)となり、△ACNで余弦定理を
使い cosθ={b^2+n^2-a^2b^2/(b+c)^2}/2bn

これを☆に代入して 整理 nについて解けば
 n={1/(b+c)}√{bc(a+b+c)(-a+b+c)}

Qカルシウム・パラドックスなどについて

カルシウム・パラドックスなどについて

カルシウム・パラドックスを防ぐために、乳製品は控えた方がいいと思われますか?
また、Wikipediaのカルシウム・パラドックスについての記述を見て、
「野菜タンパク質と動物性タンパク質は違うのか?
牛乳より豆乳のほうがベターかな?」
と思ったのですが、どうでしょうか。

以下は参考までにWikipediaからの引用です(長いです)。
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カルシウム・パラドックス

カルシウム・パラドックス(calcium paradox)とは、カルシウムの摂取量が多い国に骨の疾患が多いという現象。
骨の材料となっているカルシウムを摂取しているにもかかわらず、骨折や骨粗鬆症が多いという、逆説的なことが起こっていることから、このように呼ばれている。

2002年の世界保健機関 (WHO) の報告書では、骨粗鬆症予防のための項目で、カルシウムの摂取量が多い国に骨折が多いというカルシウム・パラドックスの理由として、
カルシウムの摂取量よりも、カルシウムを排出させる酸性の負荷をタンパク質がもたらすという悪影響のほうが重いではないかと推論されている。

さらに、2007年のWHOの報告書で、酸を中和するほどのアルカリ成分がないとき、カルシウムが排出され骨に影響すると考えられ、アルカリ成分として野菜と果物が挙げられている。
日本国外の骨粗鬆症の診療ガイドラインでは、
砂糖や動物性食品はカルシウムを奪う「骨泥棒」とされ、骨粗鬆症の予防のためアルカリ性食品を摂取するように言及している。
また、そうしたことで発生した血中の酸を中和するのは骨の仕事だと解説している。
1995年、食品の腎臓への酸性の負荷をPRAL値という指標で表す測定方法が考え出された。
酸性の食事が骨の健康を損ねるので、この目的でも用いられる。
野菜と果物を多く食べた子供は尿中のカルシウムの排出量が少なかった。
野菜と果物の摂取量が多いほど骨密度が高いという研究結果が老若男女それぞれにある。
-------------------------------------------

カルシウム・パラドックスなどについて

カルシウム・パラドックスを防ぐために、乳製品は控えた方がいいと思われますか?
また、Wikipediaのカルシウム・パラドックスについての記述を見て、
「野菜タンパク質と動物性タンパク質は違うのか?
牛乳より豆乳のほうがベターかな?」
と思ったのですが、どうでしょうか。

以下は参考までにWikipediaからの引用です(長いです)。
-------------------------------------------
カルシウム・パラドックス

カルシウム・パラドックス(calcium paradox)とは...続きを読む

Aベストアンサー

ご質問したくなる気持ちが分ります。私も乳製品に是非については質問したいくらいです。
No.1の補足でWikiの引用とありますが、そのURLを書いてくれませんか。
>「中和には骨のカルシウムがもっぱら使われる。」
これは問題があると思いますよ。

ご質問は乳製品についてですよね。
よく知りませんが、カルシウム・パラドックスなるお話と、乳製品はもともと違う話で、誰かがくっつけたんじゃんないのですか。たぶん日本人。牛乳飲むなとかいう先生がいましたよね。
かなり非論理的ですよ。
カルシウム・パラドックスはカルシウムの摂取量と骨折(笑)が逆の相関になるということでしょう。
★事実はそれだけですよね。

しかも
>「砂糖や動物性食品はカルシウムを奪う「骨泥棒」とされ」
「牛乳が」じゃないでしょう。

★感情論的な「骨泥棒」よりもパラトルモンを調べるのが基本です。

そして話は、骨折だということを認識しないといけません。

Qグリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの発散定理 などの関連性

境界付き多様体上の微分形式に対するストークスの定理
∫C dω=∫∂C ω

からの帰結として、
1.微積分学の基本定理。
2.正則関数についてのコーシーの積分定理。
3.グリーンの定理。
4.ベクトル解析におけるストークスの定理
5.ガウスの発散定理

などがあるらしいのですが、それらの関連性がどうも分かりません。

Cやωがどういたっときに、1~5の定理になるのでしょうか?

Aベストアンサー

 現在、微分形式を独習中なのですが、1.~5.の関係などを、多次元や多様体上で効率良く導くために、微分形式がある気がします。

 微分形式を使用しない範囲で言えば、ガウスの発散定理から、残りは全部導けると思います(どれを先にするかは任意ですが)。この関係は、微分形式でも同じだと思います。そういう事が、微分形式を用いる事により、一目瞭然にならないかなぁ~、とちょっと期待してます。

Qパラドックス・逆説の定義について

パラドックス・逆説の意味を改めて調べてみました。
以下のような意味があるそうで、(順不同)

(1) 一見、真理にそむいているようにみえて、実は一面の真理を言い表している表現。

(2) ある命題から正しい推論によって導き出されているようにみえながら、結論で矛盾をはらむ命題。

(3) 事実に反する結論であるにもかかわらず、それを導く論理的過程のうちに、その結論に反対する論拠を容易に示しがたい論法。

(4) 一般に正しいと思われていることに反する事柄。

(5) 一般に容認される前提から、反駁しがたい推論によって、一般に容認し難い結論を導く論説。

「逆説」は主に1を指すようですが、1つの用語に正しい/誤りの意味が分かれるというのはおかしくないでしょうか? 

「~はパラドックスであるが、・・・を考えるとパラドックスではない」という文章を読んだとき筆者が一体何を主張したいのか俄かに判断し難かったという経験がありました。

私は「逆説」を主に1の意味に捉えていました。

皆さんは「パラドックス」や「逆説」をどう使い分けていますか? 文系・理系で使われ方が違いますか?

パラドックス・逆説の意味を改めて調べてみました。
以下のような意味があるそうで、(順不同)

(1) 一見、真理にそむいているようにみえて、実は一面の真理を言い表している表現。

(2) ある命題から正しい推論によって導き出されているようにみえながら、結論で矛盾をはらむ命題。

(3) 事実に反する結論であるにもかかわらず、それを導く論理的過程のうちに、その結論に反対する論拠を容易に示しがたい論法。

(4) 一般に正しいと思われていることに反する事柄。

(5) 一般に容認される前提から、反駁し...続きを読む

Aベストアンサー

>皆さんは「パラドックス」や「逆説」をどう使い分けていますか?

「パラドックス」は

(6)正しそうに見える前提と、妥当に見える推論から、受け入れがたい結論が得られる事

と言う意味で使っています。

なので「正しそうに見える前提」が「実は間違っていたと証明される」と「パラドックスが解消される」と言う状況が発生します。

「逆説」は

(7)パッと見た目には非常識に思える(逆の事をしているように見える)けれど、よく考えると理にかなっているという事

と言う意味で使っています。

なので、パラドックスのように「解消される」と言う事は無いと考えていますが、どうも、世間では「パラドックス」を「逆説」と翻訳してしまっているっぽいので、当方は「その翻訳は間違っている。ニュアンスが違ってしまっている」と思っています。

Qまたまたまたまた数学ー割ると余るー

お久しぶりです。今回はこんな問題です。

110を割ると5余る自然数をすべて求めよ。

人から聞いた話によると105の倍数を使って求めるらしいんですが・・・

できれば今日中にお願いします!!解き方も載せていただけるとうれしいです!

Aベストアンサー

初めまして!
早速ですが回答させていただきます。
110を割ると5余る数字をAとしてみます。
このAという数字は何倍かすれば105になるということになります(110を割って5余るため)
よって、何倍かして105になる数字を求めてみます。すると、
1、3、5、7、15、21、35、105となります
しかし、1、3、5は余りと同じか、それ以下なので答えにはなりません(実際に割ってみればわかると思います)
なのでA=7、15、21、35、105となります。
間違っていたらすいません。

Qいろいろなパラドックス

 最近パラドックスっておもしろいなぁ~などと思っているのですが、
「アキレスは亀に追いつかない」「クレタ人?は嘘つきなのか」等
素人でもとっつきやすいパラドックスの逸話をご存知の方是非おしえてください。

 検索したんですけど、ウラシマ効果ばっかりで・・・

 あ~~カテゴリー間違えたかなぁ~。でもこっちの方がいい回答
来たりして・・・これもパラドックス?

Aベストアンサー

こんにちは、どうも。あんまりないんですけど、いくつか・・・


●「アキレスと亀」と同じく、Zenonのパラドクスですが

  飛ぶ矢のパラドクス:飛ぶ矢は、ある分割できない瞬間では移動できない。つまり静止している。

・・・・というのも、無限小を扱ったパラドクスです


●14世紀に、ルネッサンスの先鞭をつけたパリ派哲学者の一人、ビュリタン(Buridan)のパラドクスで

  ビュリタンのロバのパラドクス:2つの干し草の全く中央におかれたロバは、(迷って)どちらへも行けず餓死してしまう

・・・・これ、私はとても好きなんですが、量子論の自発的対称性の破れの例えなどに出されます。


●論理学や数学でよく例になるのは yan^4さんも挙げておられますが

  ラッセルのパラドクス(の1つ):「クレタ人が『クレタ人はうそつきだ』と言ったとき、うそつきか?」


●熱力学で重要なのが

 ロシュミットのパラドクス:ニュートン力学は可逆なので、熱力学の第二法則は証明できない

・・・・まともすぎて、パラドクスって感じがしないのが、ちょっとツマラナイですね。


●「悪魔」系だと
 ・マックスウエルの悪魔
 ・ラプラスの悪魔
  なども、パラドクスの表現の一つのような気がします。


●量子力学系ですと、パラドクスとも、論争ともつかないものがたくさん出現しました。
たとえば
・EPR パラドクス
・シュレディンガーの猫のパラドクス
・ド・ブロイのパラドクス
・・・・などなど、沢山あります。
 そして、ゼノンのパラドクスは、量子ゼノンパラドクス(効果)として、現実のものとして証明されることになる
・・・このあたりが、歴史の面白いところです。

こんにちは、どうも。あんまりないんですけど、いくつか・・・


●「アキレスと亀」と同じく、Zenonのパラドクスですが

  飛ぶ矢のパラドクス:飛ぶ矢は、ある分割できない瞬間では移動できない。つまり静止している。

・・・・というのも、無限小を扱ったパラドクスです


●14世紀に、ルネッサンスの先鞭をつけたパリ派哲学者の一人、ビュリタン(Buridan)のパラドクスで

  ビュリタンのロバのパラドクス:2つの干し草の全く中央におかれたロバは、(迷って)どちらへも行け...続きを読む

Qフェルマーの最終定理みたいなの、他にないですか

フェルマーの最終定理は証明されてしまいましたが、
証明されていない、長年にわたって謎になっている同様の問題はないでしょうか?

Aベストアンサー

整数論にはいっぱいあるけど,有名どころは
・ゴールドバッハ予想
・双子素数予想
Wikipediaで「数学上の未解決問題」をみれば
それこそいっぱいでてます.


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