しつこくてすみません。mori0309です。
バナッハ-タルスキーの定理って何ですか?
自分で調べるべきなんでしょうけど、他の方たちにも
この魅惑の世界を知っていただきたいです。
またまたstomachmanさんお願いします。
(急ぎでないです)
もちろん他の方でもOKです。

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A 回答 (2件)

バナッハ-タルスキーの定理。

これについては、そのものずばり「(砂田利一)バナッハ・タルスキーのパラドックス」という秀逸な一般向け解説書があります。この定理のキモである「選択公理」や「無限」「存在証明」を丁寧に解説してあります。さて....

●「3次元の実数空間(つまり(x,y,z): x,y,zは実数)の中で、半径1の球体(中身が詰まっている)を考えます。この球体を(ある内緒の方法で)有限個の部分集合に分割します。(つまり重複も余りもないように分けます。)そして、これらの部分集合それぞれの形は全く変えずに、ただ(ある内緒の方法で)向きを変え、並べ替えて上手に組み合わせると、半径1の球体(中身が詰まっている)を2個作れます。」
 これがバナッハ-タルスキーの定理です。
 金でできた球体を2倍に増やす方法を早く知りたい、と思うのはあなただけではありません。実は「ある内緒の方法」というのは「存在することは証明できるが、やり方は分からない。」不可知なんです。
 
●金の球体は、たかだか有限個の金の原子の集まりです。実数の個数どころか、自然数の個数どころか、たかが有限個に過ぎない。数学的な球体とは全然別物です。だから仮に「ある内緒の方法」が分かったとしても、金の球には使えませんね。

●また、体積という概念も実はええかげんなものです。実際、金の原子の並んでいる間隔を変えるだけで球は大きくなる。加熱してやればいいんですね。ましてや、表面積なんてものは(原子や素粒子のサイズまで考えれば)幻想としか言いようがない。

●3次元の実数空間や、幾何学図形は、我々の住む空間や物の形のモデルとしてとても役に立ちますが、適用出来る限度というものがあるようだ。そういうことです。

 なお、バナッハ-タルスキーの定理を「球体を有限個の部分に切り分けて並べ替えると....」と表現することがありますが、たとえば数直線を「小数点以下1桁目が1のもの」と「それ以外」に分けると、(集合としては2つに分けたんですが)手に持てるような部品2個にはならず、ばらばらに切れた無限個の「部分」になってしまいますよね。「バナッハ-タルスキーの定理において、有限個の、連結した部分集合に分けられる」という証明があるんでしょうか?これは知りません。(多分無理だと思います。)

おおっと、おあとが宜しいようで...

この回答への補足

stomachmanさん、ほんとに、ほんとに、すみませんでした。そして、ありがとうございました。無理なお願いをきいていただいて。
自分なりに理解できたら、またお礼の投稿をさせていただきます。

補足日時:2000/12/16 17:26
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この回答へのお礼

さっぱり理解できません。(あたりまえですね)でも、面白くてしょうがないです。
(例によってひとり言です)
本当に球体の体積が2倍になるのですか? どこかにオチのあるパラドックスなのですか?
「バラして組み合わせる」というのがトリックなのかな? 無限級数なんかは順序を入れ替えると
結果がぜんぜん違うことがあるから。(やっぱりちゃんと本を読みます)
ありがとうございました。

お礼日時:2000/12/18 22:39

選択公理を認めた以上は、紛れもない定理です。

オチがないんですよ。
これは幾らなんでも直感に合わない。パラドックスじゃないの、というんで、選択公理に制限を加えてみたり、色々な試みがなされています。しかし現代では、選択公理を平気で使う、というのが主流のように思えます。
同様に「連続体仮説」も、肯定も否定もできない、つまり公理として加えるかどうかで数学のパワーが変わる、という種類の命題(独立な公理)であることが知られています。

おっとと:
連続体仮説=「「可算無限個(自然数の個数=濃度Aと言う)の要素を持つ集合」のあらゆる部分集合を要素とする集合」の要素の数は、非可算無限個(実数の個数=濃度Cという)と一致する。」
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この回答へのお礼

ありがとうございました。連続体仮説も「無限」に興味がかきたてられます。

お礼日時:2000/12/19 08:29

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バナッハ・タルスキーの定理
http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/banachtarski.html

数学は全く苦手なので、この定理のことも全然理解出来ていないのですが、
ただ、この定理を使って、実際の物質を2つにしたり大きくしたりすることは
無理だとしても・・・

例えば経済の分野に何かの形で応用する (経済も数字を扱う分野だと思うので)
というようなことは、出来ないでしょうか?

Aベストアンサー

「この定理を現実に適用して、何かを増やせる」という記述をお探しなら、そういうものはあまり沢山は見つからないでしょう。間違いだからです。これは発想が貧弱だからではなくて、もうちっと根源的な話です。

問題の定理は
「3次元の球を有限個の部分集合に分割してそれぞれを回転する操作のうちで、元の球と同じものをもうひとつ作るような操作が存在する」ということです。

(1) たとえ分割の仕方が具体的に分かっていたとしても、その分割が現実の操作としてできるとは限りません。
例えば、「長さ1の線分を二つに分ける」ということは、「針金を切って二つに分ける」というのとは全然違います。実際、長さ1の線分[0,1]を部分集合{(1/2,1], (1/4, 1/3],(1/6, 1/5], …}とそれ以外との二つに分けることはできるけれど、針金をこのように分けることは出来ません。
 問題の定理が適用できるためには、その対象は最低限、無限個の要素を含んでいなくてはなりませんが、現実にはそんなモノはありません。

(2) 問題の定理は「何でも2倍にできる」と言っているのではない。この定理はあくまでも3次元の球についての話です。実際、2次元の球(つまり円盤)についてはこの定理が成り立たないことが分かっています。
現実には数学で言う「3次元の球」や「2次元の円盤」や「1次元の線分」は、モノとしては存在しません。なので、問題の定理は現実のモノには適用できません。

 で、「経済だって、『現実のモノ』ではなくて仮想の観念だ」という言い方が出来るというのが、ご質問に経済が出てきた理由なのでしょう。
  もし問題の定理が実際の経済に何らか効果を及ぼすのであれば、その効果は通貨に換算できるはずです。ということは、「この定理は通貨に適用できる」ということに他なりません。しかし、通貨は無限個の要素すら持っていません。まして数学で言う「3次元の球」や「2次元の円盤」や「1次元の線分」が持つような変換や構造を持っていません。「通貨を回転する」という表現ができたとしても、その回転が「数学で言う回転」の性質を満たさなければ、それは「名前がたまたま同じ」というだけのことです。

(3) 問題の定理によれば、3次元の球を2倍にするやりかたが存在するのは確かだけれど、そのやりかたは分かりません。
 もちろん、もしも経済において「『数学で言う3次元の球』とみなせる観念X(それは無限個の要素を持ち、分割でき、回転できる)」があるのなら、その観念に問題の定理を適用することは可能です。そうして得られるのは、「ある観念Xを2倍にする方法が(どうやるかは分からないが)存在する」という命題であって、何か(モノどころか観念すら)が2倍になることはありません。

「この定理を現実に適用して、何かを増やせる」という記述をお探しなら、そういうものはあまり沢山は見つからないでしょう。間違いだからです。これは発想が貧弱だからではなくて、もうちっと根源的な話です。

問題の定理は
「3次元の球を有限個の部分集合に分割してそれぞれを回転する操作のうちで、元の球と同じものをもうひとつ作るような操作が存在する」ということです。

(1) たとえ分割の仕方が具体的に分かっていたとしても、その分割が現実の操作としてできるとは限りません。
例えば、「長さ1...続きを読む

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