円順列？立方体の塗り方

立方体を6色の色で塗り分けるという問題。

一番最初に一番上の面を１色固定して、その下の面を残りの5色から１つ選らんで、側面を（４－１）！で円順列として解く（隣あう面は違う色）

⇔５Ｃ１×（４－１）！

となるそうなんですが、私は固定した一番上の面を塗る場合の数も考え、
６×５Ｃ１×（４－１）！　にしました。
コレは何でダメなんですか？？

No.1 回答者： since1983 回答日時： 2006/01/14 23:03

一番上の面を塗るときの場合わけをしても、回転させると同じものが6通りずつ出来てしまい、あとから6で割らなくてはならないからだと思い

ますが・・・

No.2 回答者： pocopeco 回答日時： 2006/01/14 23:08

どの面も区別のない立方体だと、６×５Ｃ１×（４－１）！では重複して数えているのです。

上面に赤を塗った場合、上面は赤でないけれど下面が赤の場合、側面が赤の場合があります。
しかし、転がして同じ塗りかたにみえるものはダメです。
それぞれ違う塗り方か調べるときに、赤の面を上に向けて見比べます。なので、残り５色の順番を考える事になって、
５Ｃ１×（４－１）！
うまい説明が思い付かないです。ごめんなさい。

No.3 回答者： inayou 回答日時： 2006/01/14 23:59

立方体なのでどの面が上になるかは決まりません。

いってみれば、どの面が上でもよいわけです。
つまり、どの面を上としてみてもよいということです。
その条件での塗りわけなので、色を選ぶことができる面は、
固定した面の下の面と側面の５つの面になります。
よって５Ｃ１×（４－１）！通りになります。

No.4 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2006/01/15 11:03

結局、この問題は円順列の2段活用なんです。

円順列を復習してみましょう。考え方には二通りあり

１．n種類の札を円状に並べるには
n!で計算される組み合わせが1種類につきn個ずつ
重複しているので
n!/n=(n-1)!

２．回転させて同じものを一つと数えるのなら
一箇所の札を最初から固定して後の組み合わせを数える
ことで計算できる。
(n-1)!

結局、円順列を数えるときは1箇所を1つに固定して考えるのが
有効です。

これを立方体に広げているのがこの問題です。
これも回転させて同じものは1つと考えるので
1箇所を固定して考えています。(⇒上面の色は固定)
その上で、下面の色を選択(5C1)、残った色で
再度円順列(4-1)!
だから5C1*(4-1)!ですね。

最後に6をかけては、せっかく円順列の考え方で固定して
勘定した組み合わせを、最後に固定した部分にn通りの入り方が
あるので
(n-1)!*n=n!
として普通の順列に戻しているのと変わりませんよ。