A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
Sylow の定理を用います。
56 = 7×2^3 です。7-sylow 群の個数は 7 を法として 1 余る、8 の約数です。
2-sylow 群の個数は 2 を法として 1 余る、7 の約数です。
sylow 群 の個数が1個ならばそれは正規部分群です。
7-sylow 群の個数が8個であったと仮定して、 2-sylow 群の個数が1個であることを示します。
8個の 7-sylow 群を P1,...,P8 とします。
この時、各 Pj は位数 7 の巡回群なので、 Pi ∩ Pj = {e} ( 1 ≦ i < j ≦ 8 ) を満たします。
単位元 e 以外の元は全て異なり、位数7の元が 6×8 = 48 個 存在します。
この集合を S と表し、S = ∪j(Pj-{e}), T = G - S とします。
任意の 2-sylow 群 Q に対して、 |Q|=8 より S ∩ Q = φ となり、 Q ⊆ T を得ます。
元の個数をくらべれば Q = T を得ます。 よって、 2-sylow 群 は Q = T ただ一つとなり、正規部分群です。
この群は正規部分群を持つため単純群ではありません。
No.1
- 回答日時:
ここに位数120までの有限群の分類がありますので参照ください
位数56の群は49~52ページにあります。
追記
全体で93ページありますので、ご注意ください。
また下記のファイルを読むためには、Adobe Reader をインストールする必要があります。
参考URL:http://www.akanekodou.sytes.net/math/pdf/finite_ …
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