ちょっと質問です。
媒介変数表示で、直線はどのような式であらわされますか?
どなたか宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

ベクトル方程式なら、内積を使った方法もありますよ。


 (x-a)・n=0
ここで、xは動点の位置ベクトル、aは直線が通る点の位置ベクトル、
そしてnは直線の法線ベクトルです。
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ベクトル方程式は分かりますか?



二点 a, b を通る直線 p の方程式は、p = t・a + (1 - t)・b で表されます。
ベクトル方程式のままでは嫌だ、ということであれば、これを要素について表現すれば、
媒介変数表示になりますね。

x = t・xa + (1 - t)・xb
y = t・ya + (1 - t)・yb
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例えば2次元での直線は (x-a)/b=(y-c)/d って書けるよね。

a,b,c,dは定数。
(x-a)/b=(y-c)/d =tとおくと

x=bt+a, y=dt+c と媒介変数表示できます。

三次元でも (x-x')/a=(y-y')/b=(z-z')/c と直線がかけるから
(x-x')/a=(y-y')/b=(z-z')/c=t とおけば同じように媒介変数表示できます。
 
 簡単な例として y=ax+b は (y-b)/a=x と式変形 (y-b)/a=x=tとおいて

 x=t、 y=at+b と媒介変数表示できます。
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この回答へのお礼

    ~皆さんへ~

ご回答有り難うございました。
おかげさまで理解できました。

お礼日時:2002/01/25 17:38

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dy/dx=-{∂f(x,y)/∂x}/{∂f(x,y)/∂y}です。

陰関数の中に媒介変数があるh(x,y)=h(f(t),g(t))=0 の微分は、どうなるのでしょうか?

媒介変数表示が陰関数になっているf(x,t)=0,g(y,t)=0 の微分は、どうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足質問について

>h(f(t),g(t))=0
>というのは単に「tに関する式=0」と意味していて、
>曲線を意味しないように思えてきました。

h(f(t),g(t))=0 は x=f(t),y=g(t)の関係を含んでいますから
tが独立した変数であれば意味がありますが、
h(f(t),g(t))=p(t)=0として
p(t)=0
となった段階でx,y座標との関係が消えて、
曲線ではなく、単なるtの方程式になります。しかし、元のh(x,y)=0,x=f(t),y=g(t)との関係が残っていて、独立変数tの変域の制約が含まれています。その変域内でp(t)=0が成立しなければなりません。
つまり、p(t)=0はtの変域内で常に成立する事になります。tの変域が全ての実数であれば、p(t)=0はtの恒等式になります。

例)x=f(t)=t/2,y=g(t)=√(1-4t^2)とすれば、
tの変域は-1/2≦t≦1/2です。
x=f(t),y=g(t)の関係式からtを消去した
t=2x,y=√(1-x^2) → x^2+y^2=1
h(x,y)=x^2+y^2-1=0
(または h(x,y)=1-x^2-y^2でもよい。)
p(t)=f(2t,√(1-4t^2))=4t^2+(1-4t^2)-1=0
(tの変域に対して常にp(t)=0が成立する,つまり p(t)=0は恒等式)
ということです。
ですから、p(t)=0の式自体は曲線を表しません。

h(f(t),g(t))=h(2t,√(1-4t^2))=0の表現の中には
(x,y)座標との関係
x=f(t)=2t,y=g(t)=√(1-4t^2) (ただし,-1/2≦t≦1/2)
には、tを消去すれば y=√(1-x^2) (ただし,-1≦x≦1)
なる方程式で表せる関数関係を含んでいます。

p(t)=0としてしまった段階で関数関係が消滅してしまいます。


>h(f(x),g(y))=0
>というのだったら意味あるのでしょうか?
当初の質問とは別物で意味はないですね。つまり、質問の意図とは異なる、単にx→f(x),y→g(y)という置換の意味しかありません。
闇雲にただ式を書けばいいというものではないです。

当初の質問の後半
>媒介変数表示が陰関数になっているf(x,t)=0,g(y,t)=0 の微分は、どうなるのでしょうか?

(∂f/∂x)dx/dt+(∂f/∂t)=0
(∂g/∂y)dy/dt+(∂g/∂t)=0
となりますので
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)={(∂g/∂t)/(∂f/∂t)}{(∂f/∂x)/(∂g/∂y)}
となります。

#1です。
A#1の補足質問について

>h(f(t),g(t))=0
>というのは単に「tに関する式=0」と意味していて、
>曲線を意味しないように思えてきました。

h(f(t),g(t))=0 は x=f(t),y=g(t)の関係を含んでいますから
tが独立した変数であれば意味がありますが、
h(f(t),g(t))=p(t)=0として
p(t)=0
となった段階でx,y座標との関係が消えて、
曲線ではなく、単なるtの方程式になります。しかし、元のh(x,y)=0,x=f(t),y=g(t)との関係が残っていて、独立変数tの変域の制約が含まれています。その変域内でp(t)=...続きを読む

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