連立不等式ってどんなのでしたっけ？

中学生ぐらいの問題だと思うのですが頭が固くなっていて、すっかり忘れてしまいました。答は解っているのですが、解き方を教えてください。問題は全部で3問です。宜しくお願いします。

質問１
ｘ＋３＞２
－２X≦８
上記の連立不等式の解き方を教えてください。　答は　X>-1　なのですが…

質問２
２次方程式　X2（Xの2乗のつもり）＋ax-30=0の1つの解が５であるとき、もう１つの解を求めてください。　　　　　　　　　　　答は　－６　なのですが…

質問３
４％の食塩水120gに水を加えて３％の濃度にするとき、加える水は何ｇですか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答は　40g　なのですが…

No.1 ベストアンサー 回答者： sssohei 回答日時： 2002/01/19 00:43

まず不等式の解き方なのですが、

両辺になにか、加減算しても不等号はそのまま
（天秤をイメージするとわかりやすいと思います）

両辺になにか、正の数を乗算しても不等号はそのまま
両辺になにか、負の数を乗算すると不等号は反転
（実際に計算してみるとわかりやすいかも知れません）

という法則が成立しますので、これを利用して解きます。

そして、連立不等式ですが、与えられた式毎に条件を求め、全ての式の条件を満たす範囲が答えになります。

文章だけではわかりにくいので実際に解くと
(1)
x + 3 > 2
→　両辺に (-3) を加えても不等号はそのまま
x > -1　- (i)

-2x ≦ 8
→　両辺を負の数 -2 で割ると、不等号は反転
x ≧ -4 - (ii)

となります (i) と (ii) の条件両方を満たす範囲は
x > -1 です。通常、数直線を書いて、やるとわかりやすくなり、さらに間違えにくくなります。今はかけないのでアバウトですが

　 　 　 →(i) の条件
→(ii)の条件
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(2)
この二次方程式を因数分解出来たとします。すると式は
(x-α)(x-β) = 0 - (iii) と表せます。このとき、x=α,βでこの方程式は満たされる（α,βが解である）事は自明だと思います。
この(iii)式を分解すると
x^2 -(α+β)x + αβ = 0
さらに解の一つが 5 なので、α(βでも良い) に 5 を代入すると
x^2 -(5+β)x + 5β = 0
元の式と比較（係数比較）すると
-(5+β) = a
5β = -30
という２つの式ができるので、これを解くと
∴β=-6、a=1

(3)
方法1：加える水をx [g]とおいて、文章に従い、方程式を立てて解きます。
0.04*120 / (120 + x) = 0.03
（以下略）

方法2：塩の量が変わらないことに着目します。（オススメ）
4%, 120g の食塩水と言うことは塩は
120 * 0.04 = 4.8g
これが、最終的な食塩水の3%にあたるので、最終的な食塩水は
4.8g / 0.03 = 160g
∴最初から増えた量は160g-120g = 40g

操作が２段階などになったとき、方法2のほうがすっきりした解き方になります。

この回答へのお礼

丁寧な解説をありがとうございました。

お礼日時：2002/01/19 23:28

No.2 回答者： MSZ006 回答日時： 2002/01/19 00:49

質問１

Ｘ＋３＞２
を変形すると
Ｘ＞－１・・・・(1)

－２Ｘ≦８
を変形すると
Ｘ≧－４・・・・(2)
(1)(2)を満たすＸの範囲は
Ｘ＞－１（答）

質問２
x^2+ax-30=0にx=5を代入すると
25+5a-30=0
変形して
a=1
よってもとの式は
x^2+x-30=0
因数分解して
(x-5)(x+6)=0
従ってもう一つの解は
x=-6（答）

質問３
４％の食塩水１２０gに含まれる食塩は
120*0.04=4.8g
３％の食塩水Ｘgに含まれる食塩の量が4.8gになるように
Ｘを求めると
Ｘ*0.03=4.8
Ｘ=１６０(g)
もとが１２０gだから４０gの水を加えれば良い（答）

この回答へのお礼

解りやすい回答をありがとうございました。

お礼日時：2002/01/19 23:30

No.3 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/01/19 09:43

（1）は、２つの不等式を同時に満たすｘの範囲を考えればいいですね。

（2）は、1の回答の「因数分解」がおすすめですね。（まあ、「解の公式」にあてはめても答えは出るけど。

（３）「食塩水問題」は中学生で悩む人は多いですね。
基本的に「濃度とは」からはじめたらいいでしょう。

（食塩：溶質）/（食塩水：溶液）ですね。「％」なら、×100をつけて。
（食塩）/（食塩水）＝3/100の式をつくって、
食塩の量は、120×4/100（ｇ）（ここで、4/100を約分しないのがひけつ）
食塩水の量は120+ｘ（ｇ）

1の回答の「方法1」なのですが、文章どおりに書けば
120　×　4/100　÷（120+ｘ）　＝3/100　　（ここで、約分してなければ「/100」が両辺から消せる。

「食塩水に食塩水を加える」「食塩水から水を蒸発させる」「食塩水に食塩を加える」も、すべて同じ問題ですから、ひとつひとつ加えるものをおさえていけば問題ありません。

　あと、「比」で
「４％→３％だから、食塩水は4/3になる。」（この原理が納得できていれば）から、
できる食塩水は、120（ｇ）　×　4/3　＝160（ｇ）

160ｇ-120ｇ＝40ｇで、イッパツ、というのも。

この回答へのお礼

早い回答をありがとうございました。

お礼日時：2002/01/19 23:29