命題の問題

次の命題の否定を述べよ
すべての整数xについて、x^2>1である

が問題なのですが意味がよく分かりません。
すべての整数がxがx^2>1であるなら -1,0,1 がxの条件を満たしていないので問題がありえないように思えてしまいます。因みに答えは

ある整数xについて、x^2<=1である

なぜこうなるのか詳しく教えてください。よろしくお願いします。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2006/03/08 09:55

問題をよく読みましょう。

出題者の意図は明確です。

問題は、「命題の否定を述べよ」と言っているだけであり、「命題の真偽を判定せよ」とは言っていません。

つまり、真偽など関係なく、与えられた命題の『否定』を機械的に作り出せばよいわけで、

　「すべての整数xについて、x^2>1である」

の否定は、

　「ある整数xについて、x^2≦1である」

となります。

No.4 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/03/08 07:50

そもそも命題とは「真偽が明確に判定可能な言明」のことですから、問題ありません。

実際あなたは偽である事を反例を示す事によって証明したのですから、これは命題です。
答については
すべての、という場合一つでも当てはまらないものがあってはいけない、という意味です。だから少なくとも一つあてはまらないものがある、という意味で「ある××につい～ではない」をいうのが「すべての××について～である」の否定になります。これはほとんど公式のような用法です。

No.3 回答者： chiropy 回答日時： 2006/03/08 00:54

よくある？間違いとしては

「すべての整数xについて、x^2>1でない」
です。以下説明をしていきます。

>>次の命題の否定を述べよ
すべての整数xについて、x^2>1である

この命題には二つのポイントがあります。「全ての整数xについて」と「x^2>1」この二点です。仮に前者をA後者をBとします。ここではこの二つの点をそれぞれ否定してやらなければなりません。（「すべての整数xについて、x^2>1である」をひとかたまりと見て否定するのではない）
まずBから見てやると、これは簡単ですね。否定はx^2≦1となります。
次にAについてです。全ての～を否定する時はNo.1さんの言うように、１つでもそれから外れる事実を指摘すれば良いので、ある～となります。（これは覚えちゃってもいいと思います。）
この二つをあわせると
『ある整数xについてx^2≦1である』
となります。「全て」を否定すると「ある」になります。ここが難しいところですよね。
全ての～で…が成り立つのを否定するのには全ての～で…が成り立たないことを言う必要はなく、何か一つでも…が成り立たないことがいえればいいので「全て」→「ある」となります。

No.2 回答者： shoon 回答日時： 2006/03/08 00:50

命題の真偽を答えよ、ってことですかね？？

命題を否定するならその命題と矛盾するもの（反例）を挙げればいいわけです　反例が存在する＝命題の定義に反する、つまりこの命題は偽である、ということです

“この場合1,0,-1 がこの命題を満たしていない”つまりこれがこの命題の反例となるわけです　従ってそのことを述べ、命題は偽である　ということでいいような気もします

問題文も何をさせたいのかはっきり述べていないので、“この命題を反例をあげて否定せよ（偽だと証明せよ）”ということなのか“この命題を否定するための条件（偽である条件）を答えよ”なのかよくわかりません

出題者の意図が後者なのであれば、ある整数xについて、x^2<=1である
ということで良いと思いますが…

問題文は曖昧さのないものにして欲しいですね

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2006/03/08 00:15

「命題」というのは、それが正しいと示しているわけではありません。

つまり、
命題が正しいか正しくないか、を示すのは、「証明」という作業です。
命題は被告で、証明が裁判官です。



被告人の主張
「すべての」整数xについて、x^2>1である
を崩すには、
１つでも、それから外れる事実を指摘すれば良いので
「少なくとも１つの整数ｘについて、x^2<=1である」
　＝「ある整数ｘについて、x^2<=1である」
という証拠を突きつければ良いのです。



「私は悪いことは１つもしていません」
「いいえ、１回だけですが、あなたが悪いことをした証拠を持ってます」