放物線の方程式を求める問題です。
2点(1,2)(2、1/2)を通り、X軸に接している。で
y=a(x-p)2に2点を代入すれば良いと思うのですが
aとpの出し方がわかりません。
何方か、ご教授願います。

A 回答 (4件)

No.2の者です。


問題文が「2点(1,2)、(2,1/2)を通り、x軸に接している放物線の方程式」を求めるなら、放物線の軸はy軸と平行になるとは限りません。
先程、ヒントを差し上げたものは、あくまで放物線の軸がy軸と平行である場合です。
#高校レベルなら、放物線の軸がx軸かy軸に平行であると考えてよいが…。

以下は大学レベルとして考えます。
放物線は2次曲線であるから、
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 …(A)、b^2-4ac = 0(放物線である条件)
となります。(証明は省略します。)
2点を通るから、(A)の式に代入して
a+2b+4c+d+2e+f = 0
4a+b+(1/4)c+2d+(1/2)e+f = 0
x軸に接するから、(A)の式にy=0を代入して変形すると
ax^2+dx+f = 0
となって、これが重解をもつので
d^2-4af = 0
となります。
なお、今の私の学力では、これくらいしか条件が思いつきません。
多分、a~fは定まらないでしょう。
誰か分かる方がいるなら、回答してくれると思います。
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まず、y=a(x-p)~2に、(1,2),(2,1/2)を代入する。


a(1-p)^2=2・・・(1)
a(2-p)^2=1/2・・・(2)
んで、(1)に(2-p)^2をかけ、(2)に(1-p)^2をかける。
そうすれば、2(2-p)^2=1/2(1-p)^2が出てきますね?
次はこれを整理して、3p^2-14p+15=0を導き出します。
因数分解で、(3p-5)(p-3)。
p=5/3,3がpの値となるわけです。
(i)  p=5/3のとき
y=a(x-5/3)^2    (1,2)を代入
4a=18   a=9/2
             (答) a=9/2,p=5/3
(ii)  p=3のとき
y=a(x-3)^2     (1,2)を代入
4a=2   a=1/2
             (答) a=1/2,p=3
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ヒントだけで勘弁願います。


2点(1,2)、(2,1/2)を通ることから、放物線の式に代入して
2 = a(1-p)^2 …(1)
1/2 = a(2-p)^2 …(2)
が成り立ちます。
また、y = a(x-p)^2 は、点(p,0)を頂点とし、直線x=pを軸とする放物線です。
放物線がx軸に接していることは自明です。
したがって、(1)と(2)の連立方程式となるので、aとpが求められます。
{(1)の式}*{(2-p)^2}-{(2)の式}*{(1-p)^2} でaが消去でき、pの方程式となります。
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aとpと、未知数が2つならば、2点の(x,y)で連立方程式を解けばでませんか?

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