「解けないことが証明された数学の問題」とは？

マイク・ピーターセンがTVで話していました。
「解けないことが証明された数学の問題」があると。
これはどういう問題なのでしょうか？
ちょっと想像がつきません。
人類にとって大きな意味があるそうなのですが。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/04/16 22:22

解けないことが証明された問題で

有名なのは以下のようなところです．

角の三等分線
任意の角にたいして
三等分線は作図できない

ただし，作図とは定規とコンパスのみを用い
更に定規は直線をひくだけ，
コンパスは円を書くだけに制限して
図を作成すること

円積問題
半径1の円と同じ面積を持つ正方形を
作図することはできない

倍積問題
与えられた立法体の二倍の
体積をもつ立方体を作図することはできない

5次以上の代数方程式の解の公式は存在しない

なんてところでしょうか．
＃これらはみんな「体の理論」で証明できます
＃大学の数学科3年生程度の内容かな

No.2さんのゲーデルの不完全性定理ってのは
ぶっちゃけた話，
論理構造に
「数の構造」をいれた途端に
その論理では真であることも偽であることも
証明できない命題が存在してしまうということです

＃数の構造がなければ「完全」ってのが
＃ゲーデルの完全性定理

このあたりはまじめに議論すると
きわめて難解だし，私の能力と知識を遥かに
超えるのでパスです(^^;;

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/04/16 13:07

解けないことが証明された問題は昔から沢山あります。

たとえば「定規とコンパスで任意の角度を三等分せよ」などです。これらは、ある条件を課して（つまり手を縛っておいて）その条件で解け、というのですから解けないこともあります。
ここで話題にされたのは「正しいとも正しくないとも証明できない問題がある」ということではないでしょうか。
ゲーデルの不完全性定理がこれに当たるでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC% …
人類にとって大きな意味があるというなら、この定理は人間の理性の限界を示したものだそうですから、こちらだと思われます。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2006/04/16 12:48

これのことでしょうか？

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参考URL：http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535784 …