円の表面積、体積が4πr2乗、4/3πr3乗というのは知っているのですが、何故そうなるのかがわかりません。自分でもいろいろと考えてみたのですが、まったくダメです。誰か教えて下さい。出来れば中学生なのでわかりやすくお願いします。

A 回答 (5件)

「区分求積法」「球の体積」で検索してください。


中学生には難しすぎるかもしれませんが。
これは、球を包丁で薄く輪切りにして、それぞれの片を円盤として計算し、加え合わせるものです。
このとき、輪の厚さが誤差を生みますから「極限」という考え方が必要になります。これは、輪をどこまでも薄く切ったときの「果て」を考えるわけです。
区分求積法と極限の考えを同時に使って、扱いやすくした分野が「積分」です。高校になれば、積分の入り口ぐらいは習うかもしれません。
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この問題を理解するためには、高校の「微分積分」の、「積分」の考え方を習わないとできません。

興味がある場合には、本屋さんへ行って高校生の積分の参考書(できるだけ入門のもの)を見てみるのが良いと思います。

ここで中学生に分かりやすく説明できるだけの自信はないので、一応アドバイスまで。

参考:「細野真宏の数(3)の教科書が面白いほどわかる(積分基礎編)」など。
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なかなか面白いサイトを発見しました.


球の表面積
http://www2.ocn.ne.jp/~mint905/fhpstory/mikan/mi …

球の体積
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

ちなみに,以上の2つのページでは,それぞれ求め方が独立してますが,
表面積がわかれば,その値から体積も求められます.
ちょっと図が描けないので,非常にわかりにくいと思いますが,
みかんを「細かく分ける」という考え方でも理解できます.
ご参考まで.

まず,みかんを房ごとに分けてみましょう.
さらに,この半円状の1房を,円の中心(みかんの種がある辺り)から放射状に切っていきましょう.すると,切られたみかんは,底面が少し膨らんだ四角錐のような形になりますよね.
もしこの四角錐が限りなく細ければ,底面は平らに見え,この四角錐の高さは近似的にrとなります.このような四角錐状のみかんをずらっと並べます.そうすると,高さがrの四角錐が並んでいます.
このおびただしいみかんの総面積は,実は底面積が4πr^2,高さがrの
四角錐とおんなじ面積なんです(等積変形の理論から).
したがって,
4πr^2×r×1/3=4/3πr^3
となります.

※「^2」というのは,2乗の意味です
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こんばんわ。

Noyといいます。

円すいの体積の公式は、1/3×底面積×高さですね。

小学生の時に、底面積と高さの同じ円柱の容器と円すいの容器を使って、円柱の容器に円すいの容器を使って、水を何倍くめるか、という感じの実験をやりませんでしたか?

中学生の段階では(って僕も中学生ですが…)、そのような実験でもとめる方法が一番わかりやすいと思います。

もうすこし発展的な高校や大学の事をいうと、カバリエリの定理や三平方の定理で証明できます。

今、その定理から勉強しようとすると、混乱すると思うので、それは習うまでの疑問としておいておけばいいと思います。でも、「なぜそうなるの?」と思う事はいいことだと思います。

ま、公式自体はgtozekiさんの仰有るとおり、体積は3次元なので3乗(立方センチメートルの単位にも3乗はついていますね)、表面積は2次元なのでそれぞれそうなると覚えておけると思います。

あまり満足できる回答とはいえませんが、お役に立てると光栄です。
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中学生にわかりやすく説明するのは少々難しいのですが・・・



とりあえず体積は3次元の中(たて・よこ・おくゆき)に存在する「立体」ですので、例えばcm3の単位と同様4/3πr「3乗」が必要です。
なーんて覚えて、大学でホントの意味を勉強してみてはいかがでしょうか?
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Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額を算出して返す
' 引数:円元金(Integer型)
' 返数:ドル換算
Dim 換算レート As Double
Dim 円換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 1 / 109.5

' ドル元金から円換算額を算出する
円換算額 = ドル元金 / 換算レート

' 円換算額を呼び出し元に戻す
ドル円換算 = 円換算額
End Function
Sub 円ドル双方向換算()
Dim ユーザー選択 As Integer
Dim 元金 As Integer
Dim 換算額 As Integer

' 円元金を取得する
円元金 = Range("B3").Value

' ドル元金を取得する
ドル元金 = Range("B3").Value

' 換算する通貨を判定し、それぞれについて換算を行う
If Range("B2") = 1 Then '円ドル換算を行う場合
換算額 = 円ドル換算(ドル元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(円ドル換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = 円ドル換算 '円ドル換算値を出力する
ElseIf Range("B2") = 2 Then 'ドル円換算を行う場合
換算額 = ドル円換算(円元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(ドル円換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = ドル円換算 'ドル円換算値を出力する
End If
End Sub

B2のセルにくる数字が1のときは円→ドルに、2のときはドル→円に換算するマクロを作りたいのですが・・・
元金はセルB3に、換算額はセルB4に表示します。
かなり初心者なので、模範解答を示してもらえると助かります^^;
よろしくお願いします><

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

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換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

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Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額...続きを読む

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もう少し親切にするなら、
B2に「入力規則」-「リスト」で「元の値」に「円→ドル,ドル→円」として
ユーザー定義関数側を
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と変更し、更にIf部分を
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通貨換算 = Round(元金*レート,1)
End If
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3の1/6乗分の3の5/3乗の計算をするとき、3^6/3^6を掛けてはいけない理由を教えて下さい。よろしくお願いします。

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(3/(3^(1/6)))^(5/3)
ってことかな(添付画像ね)

この場合、先に括弧の中の(1/6)乗を計算する必要がある。
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・・・
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ソースとしては弱いかもしれませんが…こんな記事がありましたので参考にどうぞ。

>同社は2002年第1四半期から、購入額1500円以上で送料無料としていた。
http://itpro.nikkeibp.co.jp/article/NEWS/20090911/337066/

Q3乗は立方体の体積、4乗はなんだろう・・・。

おはようございます。

指数(?)についてなんだかもやもやしています。

Xが長さだとすれば、2乗は面積、3乗は体積、でも4乗は現実の何を指しているんだろう、と気になっています。

それから、指数法則とかで(X^2)^3はX^(2×3)だと思いますが、計算できてもそれが何をやってるのかよくわかりません・・・。数学は計算できることより意味が大事だと思うので考えてしまうのです。

たとえば(X^2)^3なら面積×面積×面積って何やってるんだろうとか。

この4乗以降の現実的な意味って何なのかご存知の方いらっしゃいませんか。

Aベストアンサー

ANo.2のコメントについてです。


> 0次元超立方体ってのもあって、x^0=1ってなるのでしょうか

 一辺の長さがXの2次元超立方体ってのは、一辺の長さがXの正方形のこと。
 一辺の長さがXの1次元超立方体ってのは、長さがXの線分のこと。
 しかし、「一辺の長さがXの0次元超立方体」って言いたくても0次元じゃ「一辺の長さ」がないからな。

 4以上の次元の超立方体やその体積は、図形や模型として見られるものではないけれども、たとえばガス中の分子や導体中の電子の平均的な振る舞いを計算する時など、統計力学には必須なんです。案外リアルの世界と繋がっている。

> (100万円×1.01)^年数

 いやそれなら「 100万円×(1.01)^年数」ですけど。でもま、分かってるんじゃん。

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豪ドル/円のよい為替情報サイトありませんでしょうか。

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本日は豪の経済消費者指数がよい発表があったようです、
そのためなのか、円安更新中です。

豪ドル/円の為替を見極めるためによい為替情報サイトありませんでしょうか。要人の発言等も分かると助かります。

Aベストアンサー

メジャーな通貨ではないので無料の予想サイトなどはあまりないような気がします。

一応、
http://www.bk.mufg.jp/rept_mkt/gaitame/index.htm
ここの今月の為替相場見通し、今週の為替相場見通しで月間、週間の予想レンジが見られます(内容はかなりアバウトですが)。
後、パートナーズFXに口座を開くと、毎日だいまん氏のレポートが見られるようです。
僕が知ってるのはこれくらいです。

Q無限乗積1/2/3*4*5/6/7*…の収束値

以下、Γはガンマ関数です。

以前収束する無限乗積を探していたとき、

1/2/3*4*5/6/7*8*9/10/11*… = Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)}

が収束しそうだと思いつき、色々と考えていたところ、収束値は

{Γ(3/4)}^2 / √(2π) = 0.599070117367796…

になるようでした。具体的な計算方法はちょっとここには書ききれず、またその計算方法自体適当でこの値に近づくらしい、という所までしかわかりませんでした(ただしガンマ関数を利用しました)。そもそも無限乗積の収束値の計算方法自体、調べてもなかなかみつかりません。

そこで、Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)} = {Γ(3/4)}^2 / √(2π) について、
左辺の計算方法または等式の証明を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因子から来るものでキャンセルします.
したがって,質問の無限乗積は
(4)  Γ(1/2)Γ(3/4) / Γ(1)Γ(1/4)
になり,
(5)  Γ(1) = 1
(6)  Γ(1/2) = √π
(7)  Γ(1/4)Γ(3/4) = (√2)π
を使えば geshira さんの答
(8)  Γ(3/4)}^2 / √(2π)
が得られます.
なお,(7)はいわゆる反転公式
(9)  Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)
で z=1/4 とおけば直ちに得られます.

Tacosan さん,以前になにかの質問でご一緒した記憶があります.
批評がましくて何ですが,ばらして
(Πn)[Π(n-3/4)] / {[Π(n-1/2)][Π(n-1/4)]}
としてしまうと,(Πn) などそのものは当然発散してしまいます.

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因...続きを読む