円の表面積、体積が4πr2乗、4/3πr3乗というのは知っているのですが、何故そうなるのかがわかりません。自分でもいろいろと考えてみたのですが、まったくダメです。誰か教えて下さい。出来れば中学生なのでわかりやすくお願いします。

A 回答 (5件)

「区分求積法」「球の体積」で検索してください。


中学生には難しすぎるかもしれませんが。
これは、球を包丁で薄く輪切りにして、それぞれの片を円盤として計算し、加え合わせるものです。
このとき、輪の厚さが誤差を生みますから「極限」という考え方が必要になります。これは、輪をどこまでも薄く切ったときの「果て」を考えるわけです。
区分求積法と極限の考えを同時に使って、扱いやすくした分野が「積分」です。高校になれば、積分の入り口ぐらいは習うかもしれません。
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この問題を理解するためには、高校の「微分積分」の、「積分」の考え方を習わないとできません。

興味がある場合には、本屋さんへ行って高校生の積分の参考書(できるだけ入門のもの)を見てみるのが良いと思います。

ここで中学生に分かりやすく説明できるだけの自信はないので、一応アドバイスまで。

参考:「細野真宏の数(3)の教科書が面白いほどわかる(積分基礎編)」など。
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なかなか面白いサイトを発見しました.


球の表面積
http://www2.ocn.ne.jp/~mint905/fhpstory/mikan/mi …

球の体積
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

ちなみに,以上の2つのページでは,それぞれ求め方が独立してますが,
表面積がわかれば,その値から体積も求められます.
ちょっと図が描けないので,非常にわかりにくいと思いますが,
みかんを「細かく分ける」という考え方でも理解できます.
ご参考まで.

まず,みかんを房ごとに分けてみましょう.
さらに,この半円状の1房を,円の中心(みかんの種がある辺り)から放射状に切っていきましょう.すると,切られたみかんは,底面が少し膨らんだ四角錐のような形になりますよね.
もしこの四角錐が限りなく細ければ,底面は平らに見え,この四角錐の高さは近似的にrとなります.このような四角錐状のみかんをずらっと並べます.そうすると,高さがrの四角錐が並んでいます.
このおびただしいみかんの総面積は,実は底面積が4πr^2,高さがrの
四角錐とおんなじ面積なんです(等積変形の理論から).
したがって,
4πr^2×r×1/3=4/3πr^3
となります.

※「^2」というのは,2乗の意味です
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こんばんわ。

Noyといいます。

円すいの体積の公式は、1/3×底面積×高さですね。

小学生の時に、底面積と高さの同じ円柱の容器と円すいの容器を使って、円柱の容器に円すいの容器を使って、水を何倍くめるか、という感じの実験をやりませんでしたか?

中学生の段階では(って僕も中学生ですが…)、そのような実験でもとめる方法が一番わかりやすいと思います。

もうすこし発展的な高校や大学の事をいうと、カバリエリの定理や三平方の定理で証明できます。

今、その定理から勉強しようとすると、混乱すると思うので、それは習うまでの疑問としておいておけばいいと思います。でも、「なぜそうなるの?」と思う事はいいことだと思います。

ま、公式自体はgtozekiさんの仰有るとおり、体積は3次元なので3乗(立方センチメートルの単位にも3乗はついていますね)、表面積は2次元なのでそれぞれそうなると覚えておけると思います。

あまり満足できる回答とはいえませんが、お役に立てると光栄です。
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中学生にわかりやすく説明するのは少々難しいのですが・・・



とりあえず体積は3次元の中(たて・よこ・おくゆき)に存在する「立体」ですので、例えばcm3の単位と同様4/3πr「3乗」が必要です。
なーんて覚えて、大学でホントの意味を勉強してみてはいかがでしょうか?
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 =π∫r、-r(r^2-x^2)dx
 =2π∫r、0(r^2-x^2)dx
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