ここ一年間ぐらいずっと謎のままなのですが、いまさら大学の先生に聞くにも聞けず困っています。
話は偏微分方程式の解き方でよくででくる、変数分離についてです。多くの説明は、私の認識では、

変数分離の形(例えばA(x)B(y)C(z))の解を仮定して、偏微分方程式に代入して上手く各因子(上の例だとA,B,C)について常微分方程式がでてきたら、その解たちを掛け合わせたものはもとの偏微分方程式の解である。一般解はその積のすべてについて線形結合を取れば得られる。

といったものです。(あってますよねえ)
私がいつも悩んでいるのは最後の一文です。なぜ変数分離形の解の線形結合をとれば一般解になるのでしょうか?

数学記号の表記がしにくかったら、TeXの表記でかまいませんのでよろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

想像です。


変数分離できるということは、
各変数ごとに方程式を保つような変換がある
(方程式と解に同時に変換を施すときどの解もそれを満たす)
ということだと思います。
したがって、変数分離できない解があるとすると
変数を独立に変換できない(※)のでそういう解はない
ということになって、変数分離により求められた解で
全てが尽くされることになるのではないでしょうか?

※はたとえば解f(x、y)があると局所的に
yに対するfの変化の様子がわかれば
xが決まるのでxを変換するときにyも変換しなければいけない
というようなことを示せばよいのかなと思います。
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元の微分方程式を


D(x,y,z)f(x,y,z)=λf(x,y,z)
という固有方程式として考えます。
変数分離とは
D(x,y,z)=L(x)M(y)N(z)
f(x,y,z)=l(x)m(y)n(z)
として、
L(x)A(x)=α_lA_l(x)
M(y)B(y)=β_mB_m(y)
N(z)C(z)=γ_nC_n(z)
として解けることをいいます。
ここで、それぞれの固有方程式は、複数の固有値と
固有関数、一番上の式だと、α_lとA_l(x)を
持ちます。
これを元に戻すと、
L(x)M(y)N(z)A(x)B(y)C(z)
=Σ(l,m,n)α_lβ_mγ_nA_l(x)B_m(y)C_n(z)
(ただしΣ(l,m,n)は、l,m,nについての和を表す。)
となって、
D(x,y,z)f(x,y,z)=
Σ(l,m,n)α_lβ_mγ_nA_l(x)B_m(y)C_n(z)
となります。
「一般解はその積のすべてについての線形結合をとれば
得られる。」
というのを、
「一般解は、その固有関数の積のすべてについての
線形結合をとれば得られる。」
とすれば、理解頂けますか?
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数学の微分方程式の解についての定理に


「解の一意性定理」というのがあります。

数学のちゃんとした微分方程式の本にはのっているはずです。

その定理によれば、微分方程式の一般解が一つ求まれば、
それが唯一の解であることを保証します。
だからどのような方法で、一般解を導いても、その導いた
一般解は、唯一の一般解であることが、保証されています。

n階微分方程式の一般解は、n個の未定定数を含み、
微分方程式を満たすものです。
これが、一つ見つかれば、それが唯一の解である。
だから、変数分離でもなんでも、都合のよい方法で
解けば良いのです。
経験的に変数分離が解けるということです。

大分昔に勉強したことなので、
「解の一意性定理」の厳密なことは、忘れてしまいましたが、
理解の方向性としては、これでいいと思っています。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
質問で強調してなかったのがいけなかったと思うのですが、私が言っているのは偏微分方程式についてです。お答えから察するに常微分方程式をイメージされているようなので・・・。

お礼日時:2002/02/25 09:40

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Q偏微分方程式について

偏微分方程式の問題では、よく波動方程式や熱伝導方程式などの物理的意味のある問題が登場しますが、それ以外の偏微分方程式(連立偏微分方程式や3次の偏微分方程式など)はあまり重要ではないのでしょうか。

Aベストアンサー

こんばんわ。

物理的(あとは、経済学的ぐらい?)な分野で使われることが多いので、
そのような問題が「重要」ということになるのでは?

通常、現実に微分で扱うのも 2階微分(上に凸・下に凸、極値を求める)ぐらいまでですよね。


過去に少し関連した質問があったので、参考として。
http://okwave.jp/qa/q6999183.html

参考URL:http://okwave.jp/qa/q6999183.html

Q変数分離型の微分方程式

次の微分方程式を、変数分離型として解け。
dy/dx = x*exp(-(x+y)) -1
ただし、初期条件x=y=0 とする。

うまく変数分離型にもっていくためのやり方がわかりません。
どなたか解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

変形すると,

1+dy/dx=xe^{-(x+y)}

1=dx/dxより

dx/dx+dy/dx=xe^{-(x+y)}

d(x+y)/dx=xe^{-(x+y)}

そこでANo.1さんのようにu=x+yとおくと,

du/dx=xe^{-u}

e^udu=xdx

これで変数分離型になりました.あとは両辺積分して

∫e^udu=∫xdx

e^u=x^2/2+C

x=0のときy=0,u=x+y=0なので

e^0=C,C=1

∴e^u=x^2/2+1,e^{x+y}=x^2/2+1,e^y=(x^2/2+1)e^{-x}

すなわち

y=log(x^2/2+1)-x

Q偏微分方程式の参考書

今、偏微分方程式の勉強をしているのですが、
偏微分方程式の分かりやすい参考書ってありますか?

ちなみに、今、「フーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学)」この本で勉強してます。

Aベストアンサー

「道具としての微分方程式」日本実業出版社、野崎亮太著。第9章。
「道具としての微分方程式」ブルーバックス、斎藤恭一著。第6話、7話、
8話、12話。
「応用数学の基礎」廣川書店、池田峰夫著。ヤフーオークションで時々出品されている。第9章。
「数学概論」応用編、岩波書店、寺沢寛一編。700ページ全部偏微分方程式。
数学科の人は、溝畑茂「偏微分方程式」を読むのでしょうが、学部ではきつそう。
岩波書店「現代数学への入門」のなかに「熱・波動と微分方程式」「電磁場とベクトル解析」「力学と微分方程式」など読みやすいかもしれません。
図書館の数学、物理学の書架をさがしてみてください。
岩波講座「現代数学の基礎」には、「偏微分方程式」1,2.タイトルそのままの本もあります。
http://www.f-denshi.com/

参考URL:http://www.f-denshi.com/

Q電信方程式の近似式の解法 - 2階偏微分方程式の解き方

裳華房の電磁気学の演習本(1989年版)の電磁波の章の例題[1]の
方程式の解き方が分かりません。

電信方程式というのを、(多分解き易くするために)近似して、

∂^2 E/∂z^2 = jωσμE  (jは虚数。普通iと書いてあるもの)
=2jE/δ^2

という2階の微分方程式になっています。
これの解が
E = Aexp(-z/δ)exp{j(ωt - z/δ)}
らしいのですが、どうやったらこうなるのでしょうか?

特に、符号の決め方や、tがどうして出てくるのかよく分かりませんので
教えてもらいたいです。

Aベストアンサー

>題意により、
>E ∝ exp(jωt)
>だそうです。
>となると、解いたものに掛けるということでしょうか。

「E が t の関数」ということですね。
方程式そのものが t を含んでいない以上、「解いたものに掛けるということ」だと思われます。
  

Q偏微分方程式の一般解などについて

偏微分方程式の一般解などについて

二点質問があります。

1. 「n階偏微分方程式の一般解はn個の任意関数を含む」とテキストにあったのですが、なぜそう言えるのでしょうか?
n階常微分方程式の場合は、n回積分してやればn個の任意定数が出てくる、というように理解できるのですが、偏微分方程式の場合はどう考えたらよいのかよく分かりません。とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか?

2. 1に関連しますが、偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか?たとえば、n階常微分方程式ならn個の線形独立な基本解の線形結合が一般解となると思うのですが、偏微分方程式の場合はどうなんでしょうか?

どうぞよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか?

常微分方程式の独立変数を x とすると,「定数」を x で微分すれば,0(ゼロ)です.

同様に,偏微分方程式の独立変数を x, y とすると, y の関数 Y(y) を x で偏微分すれば,0(ゼロ)です.

以上のような理由からです.


>偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか?

一般的には,ありません.つまり,全ての偏微分方程式が解けるための必要十分条件は,ありません.

一般的に,偏微分方程式は,二つ以上の独立変数を含みますから,非常に広範囲で奥深いため,むしろ,解けない場合の方が多いです.つまり,或る偏微分方程式が与えられたとき,初等関数や特殊関数,無限級数などを使っても,解が表現できないことがあります.

現在の偏微分方程式に対する多くの対処方法は,必要な点の近傍に関してだけを数値解析で解くというものです.

Q偏微分と独立変数

熱力学で
  ∂U(S,V)/∂T
という偏微分を考えます。
  ∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂T)+(∂U(S,V)/∂V)(∂V/∂T)
と書けることはわかりました。また、SとVが独立変数であることから
  ∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂V)(∂V/∂T)+ …
と書けないこともわかりました。では、
  ∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂P)(∂P/∂T)+ …
とは書けるのでしょうか?
私としては可能であると考えているのですが、正直あまり理解できていない状態です。どうかご教授下さればと思います。

また、上に付随で(というかこっちが核心かも^^;)質問なのですが、上ではSとVを独立変数と決めていますが、これは熱力学の命題だからそういったことが許されているのでしょうか?
例えば、ラグランジアンはqとqdotを独立変数として考えますが、これは「今はこの二つをまったく独立と考えますよ」と定義した上での議論なのか、もしくは、それらが独立と考えられる条件の上での議論なのか、どちらなのでしょうか?前者であるならとてもスッキリ理解できるのですが。。。ラグランジュ形式は一般の力学運動を考えていると思うので後者ではないと信じたいのですが…(^^;;

どうぞよろしくお願い致します。

熱力学で
  ∂U(S,V)/∂T
という偏微分を考えます。
  ∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂T)+(∂U(S,V)/∂V)(∂V/∂T)
と書けることはわかりました。また、SとVが独立変数であることから
  ∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂V)(∂V/∂T)+ …
と書けないこともわかりました。では、
  ∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂P)(∂P/∂T)+ …
とは書けるのでしょうか?
私としては可能であると考えているのですが、正直あまり理解できていない状態です。どうかご教授下さればと思います...続きを読む

Aベストアンサー

>また、上に付随で(というかこっちが核心かも^^;)質問なのですが、上ではSとVを独立変数と決めていますが、これは熱力学の命題だからそういったことが許されているのでしょうか?

一般にf(x,y)などと表記されるとき、x、yは独立変数です。f(x,y)というのはxとyで表わされる関数という意味です。もし、xとyが独立変数でなければ、例えばyがxで表せるとき、それはf(x)と表わします。なので、熱力学がどうこういう問題ではありません。

>∂U(S,V)/∂T = (∂U(S,V)/∂S)(∂S/∂P)(∂P/∂T)+ …
とは書けるのでしょうか?

書けますよ。SをPで媒介変数表示したものを微分しているだけなので何の問題もありません。ただ、このときPはVと独立しています。つまり、VをPで表せないということです。理由は先ほど述べた通りで、もしVをPで表わせてしまうと、SもVもPで表わすことができ、それはVをSで表わすことがきることを意味し、VとSが独立変数でなくなってしまうからです。

Q物理現象を対象とした偏微分方程式

偏微分方程式には、2階の偏微分方程式がよく取り上げられると思うのですが、
(波動方程式など)

1階の偏微分方程式はどのような場面で取りあげられるのでしょうか?
あまり見たことがないので疑問に思いました。

何となくですが、電磁波などの波に関する物理現象を考える場合に
現れそうな気がするのですが・・・

また、なぜ2階の偏微分方程式の方が学問的にもより考えられているのかがよくわかりません・・


どなたかわかる方教えてください。

Aベストアンサー

こんばんわ。
出てくる方程式、出てくる方程式が、そうなりますよね。^^

>なぜ2階の偏微分方程式の方が
>学問的にもより考えられているのかがよくわかりません
物理学の基本的な考え方として、
おおざっぱな表現ですが「自然は楽をしたがる」というのがあります。
そして、楽をするために、自然は「まわりとの平均をとる」という動きをします。
つまり、プラスになりすぎたらマイナスして、マイナスになりすぎたらプラスするという動きです。
これは、ちょうど「単振動(調和振動子)」の動きにかさねあわさります。

ですので、単振動のような 2階の微分方程式が現れてくることが多いのです。


>1階の偏微分方程式はどのような場面で取りあげられるのでしょうか?
逆に、一方的に「拡がっていくような」現象があてはまります。
たとえば、熱伝導方程式や拡散方程式は、時間の 1階微分の方程式になっています。

シュレディンガー方程式も時間の 1回微分の方程式です。
時間がたつと、確率の「山」がどんどんなだらかになっていき、
どこにいるのかはっきりしなくなる様子を表しているとも言えると思います。

こんばんわ。
出てくる方程式、出てくる方程式が、そうなりますよね。^^

>なぜ2階の偏微分方程式の方が
>学問的にもより考えられているのかがよくわかりません
物理学の基本的な考え方として、
おおざっぱな表現ですが「自然は楽をしたがる」というのがあります。
そして、楽をするために、自然は「まわりとの平均をとる」という動きをします。
つまり、プラスになりすぎたらマイナスして、マイナスになりすぎたらプラスするという動きです。
これは、ちょうど「単振動(調和振動子)」の動きにかさねあわさ...続きを読む

Q偏微分方程式の数値解析

お忙しいところすみません.
現在,FDTD法による数値解析を行っています.
FDTD法は空間及び時間微分に対して中心差分を行っていますがこれを4次のルンゲクッタ法で行うことは出来るのでしょうか?ある参考書に以下のような「連立1階微分方程式」を4次のルンゲ-クッタ法で解くというのがありました.
dy/dt=f(t,y,z)
dz/dt=g(t,y,z)
これを4次のルンゲ-クッタ法で解くと
y(n+1)=y(n)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
z(n+1)=z(n)+1/6*(j1+2*j2+2*j3+j4)
ここで
k1=Δt*f(t(n),y(n),z(n))
j1=Δt*g(t(n),y(n),z(n))
k2=Δt*f(t(n)+Δt/2,y(n))+k1/2,z(n)+j1/2)
j2=Δt*g(t(n)+Δt/2,y(n))+k1/2,z(n)+j1/2)
k3=Δt*f(t(n)+Δt/2,y(n))+k2/2,z(n)+j2/2)
j3=Δt*g(t(n)+Δt/2,y(n))+k2/2,z(n)+j2/2)
k4=Δt*f(t(n)+Δt,y(n)+k3,z(n)+j3)
j4=Δt*g(t(n)+Δt,y(n)+k3,z(n)+j3)
これをマクスウェルの方程式に対応させ
ε∂E(t,x,y,z)/∂t=f(t,H)=∇×H
μ∂H/∂t=g(t,E)=-∇×E
として出来ないこともない気がするのですが.
なぜこの方法を試みようとした理由は現在,通常のFDTD定式化により数値解析を行っていますが
・プログラムは正しい
・始めの部分は正常に計算出来ている
・途中から凹凸が出始め,それが成長して発散している
という事態になり,数値的不安定の可能性が強いと思ったからです.オイラー法やルンゲ-クッタ法ではこのような異常振動は進み幅を小さくすれば止まる(ということが数学的に証明されている)ようです.
何卒回答の方,よろしくお願い致します.

お忙しいところすみません.
現在,FDTD法による数値解析を行っています.
FDTD法は空間及び時間微分に対して中心差分を行っていますがこれを4次のルンゲクッタ法で行うことは出来るのでしょうか?ある参考書に以下のような「連立1階微分方程式」を4次のルンゲ-クッタ法で解くというのがありました.
dy/dt=f(t,y,z)
dz/dt=g(t,y,z)
これを4次のルンゲ-クッタ法で解くと
y(n+1)=y(n)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
z(n+1)=z(n)+1/6*(j1+2*j2+2*j3+j4)
ここで
k1=Δt*f(t(n),y(n),z(n))
j1=Δt*g(t(n),y(n),z(n))
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Aベストアンサー

刻み幅を小さくしても発散するのでしょうか?(光速との関係で、刻み幅が大きいと本質的に計算不可能なため)

Q偏微分方程式の型と解の性質の関係

偏微分方程式の型を2次曲線の種類に従って大きく放物型, 双曲型, 楕円型などと分類し, 偏微分方程式の解の性質が, その方程式の型のいかんによって大きく左右されることはよく知られていますが, 2次曲線の分類と偏微分方程式の解の性質が結びつく理由は何でしょうか ? 必然的な理由があるのでしょうか ?

Aベストアンサー

実数x,yの実関数であるu(x,y)に関する、2階準線形偏微分方程式、つまり
u,ux,uy,x,yの実関数であるα,β,γ,δがあって、
α uxx + β uxy + γ uyy + δ = 0 (uxxはuのxによる二階偏微分。他も同様)
である場合の分類ですね。

x y 平面上のある曲線Cについて、Cの接線方向に沿った全微分を考えるんです。dy/dxをCの接線の傾きとしますと、
d(ux)=(uxx)dx+(uxy)dy
d(uy)=(uyx)dx+(uyy)dy
がいつも満たされているんで、これを使って
(α/dx)(d(ux)-(uxy)dy)+ β uxy + (γ /dy)(d(uy)-(uxy) dx)+ δ = 0
より、
(uxy)(α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ) = α(d(ux)/dx)(dy/dx)+γ(d(uy)/dx)+δ(dy/dx)
を得る。

そこで左辺の
α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ
がいつも0になるようにCを選べば、
α(d(ux)/dx)(dy/dx)+γ(d(uy)/dx)+δ(dy/dx)=0
となって、全微分方程式に帰着でき、アトはまじめにやれば何とかなりそうな感じである。
そういう、丁度都合の良いCはどうやって見つければよいでしょうか。
このために、
α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ=0
を満たす曲線Cが点(x,y)でどっちを向いているかと考えるんです。(これを「特性方向」と呼びます。)
(dy/dx)=(β±√(β^2-4αγ))/(2α)
がその方向である。

●根号の中が正(双曲型)なら、dy/dx=f,gという二つの方向がある。そのうちの一方(たとえばf)を選んで、各点でのdy/dx=f(x,y)の方向を繋いで作った曲線C、これが特性曲線です。つまりC上では常にdy/dx=fである。逆にいえば、全ての点を、このような特性曲線が二つ(特性方向に沿って)通っていて、丁度、平面を網目で覆っている感じになってる。
しかし、根号の中が0(放物型)なら特性方向は一つですし、負(楕円型)だとそういう都合の良い方向はない。そんなわけで、アプローチが違ってくる。

というのが、「双曲型・放物型・楕円型」の分類のひとつの意味かと思います。

実数x,yの実関数であるu(x,y)に関する、2階準線形偏微分方程式、つまり
u,ux,uy,x,yの実関数であるα,β,γ,δがあって、
α uxx + β uxy + γ uyy + δ = 0 (uxxはuのxによる二階偏微分。他も同様)
である場合の分類ですね。

x y 平面上のある曲線Cについて、Cの接線方向に沿った全微分を考えるんです。dy/dxをCの接線の傾きとしますと、
d(ux)=(uxx)dx+(uxy)dy
d(uy)=(uyx)dx+(uyy)dy
がいつも満たされているんで、これを使って
(α/dx)(d(ux)-(uxy)dy)+ β uxy + (γ /dy)(d(uy)-(uxy) dx)+ δ = 0
より、
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Qシュレーディンガー方程式の変数分離について

途中までシュレーディンガー方程式を教科書通りに動かしていたのですがわからなくなってしまいました

式の変形なのでそこだけ抜粋します

ih(∂f(t))/∂t=Ef(t) 実際はhはhバーです
から
f(t)=e^(-iEt/h)
の変形がわかりません

偏微分の公式にあるのでしょうか
少し詳しく教えてください
よろしくお願いします

Aベストアンサー

こんばんは。
これは本来位置と時間に依存する波動関数 ψ(x,t) が、

 (1)  ψ(x, t) = f(t) g(x)  (x は一般に3次元ベクトル)

という、時間 t にのみ依存する関数 f(t) と、位置 x にのみ依存する関数 g(x) の
積の形で表せるという仮定があってこそです。
このような仮定の下で Schrodinger方程式 を

 (2)  ih ∂f(t) / ∂t = E f(t)

という形に分離できたならば、この ∂/∂t はもはや偏微分ではなく、
常微分 d / dt と等価です。すなわち

 (3)  ih df(t) / dt = E f(t)

という1階の常微分方程式を解けば f(t) が求まるということです。
この先は詳しく書く必要はないかも知れませんが、
とりあえず両辺を f で割ってから両辺を t で積分すれば OK です。
すなわち、

 (4)  (ih / f) (df / dt) = E
      ⇔ ih ∫ (1/f) df = E ∫ dt
      ⇔ ih ln(f) = Et + C
      ⇔ ln(f) = (Et + C) / ih = -iEt/h + C
      ⇔ f = C exp(-iEt/h)

となります。
あとは各種条件から係数 C を決めればよいだけです。

こんばんは。
これは本来位置と時間に依存する波動関数 ψ(x,t) が、

 (1)  ψ(x, t) = f(t) g(x)  (x は一般に3次元ベクトル)

という、時間 t にのみ依存する関数 f(t) と、位置 x にのみ依存する関数 g(x) の
積の形で表せるという仮定があってこそです。
このような仮定の下で Schrodinger方程式 を

 (2)  ih ∂f(t) / ∂t = E f(t)

という形に分離できたならば、この ∂/∂t はもはや偏微分ではなく、
常微分 d / dt と等価です。すなわち

 (3)  ih df(t) / dt = E f(t)

という1階の常微分方程...続きを読む


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