中日が優勝する確率

Question

2006年8月25日現在、セリーグの勝敗数は以下の通りです。

中　　日 64勝 37敗 4分 残41
阪　　神 59勝 50敗 3分 残34
ヤクルト 53勝 54敗 2分 残37
広　　島 48勝 56敗 5分 残37
巨　　人 51勝 62敗 2分 残31
横　　浜 45勝 62敗 3分 残36

マスコミでは、中日の優勝は確実と言われているようですが、数学的に計算した場合の優勝確率はどの程度なのでしょうか。90％程度なのか、99％程度なのか、それとも99.9％程度なのか全然見当が付きません。

残りの各試合を各チームが勝つ可能性を50％として、各チームの優勝確率を計算していただけないでしょうか。

stomachman · Accepted Answer

プロ野球は全然知らないのですけどね。

　文句の出ない答を出すには、これまでの成績も考慮して勝率を推測するのはもちろんのこと、引き分けも考慮し、近似を使わず、いろんな高次の相関も勘定に入れる必要がある。こりゃ大変です。下手に式を作るより、シミュレーションを繰り返して統計を取るモンテカルロ法の方が簡単でしょう。

　以下は簡単に概算する方法です。

　チームの数をTとします。チームsとチームtが対戦する残り試合がR(s,t)回ある（中止や引き分けはなし）とします。
チームt (t=1,2,…,T)のシーズンこれまでの勝ち数をS(t)とします。

　チームsとtがR試合やった時のsの勝ち数をK(s,t)としましょう。（だから、チームtのチームsに対する勝ち数はR(s,t)-K(s,t)です。）
K(s,t)は確率変数で、チームsのチームtに対する勝率をpとするとき、二項分布
φ(K) = combin(R(s,t),K)(p^K)((1-p)^(R(s,t)-K))
に従います。ここにcombin(R,K) = R!/(K!(R-K)!)　は二項係数、つまりR個の中からK個を選ぶ場合の数です。
　ご質問ではp=0.5という想定ですから、その場合、
φ(K) = combin(R(s,t),K)(0.5^R(s,t))
となります。この分布は平均がR(s,t)/2、分散がR(s,t)/4です。なお、R(s,t)が大きいときφは正規分布で良く近似できます。

　チームsの他のチーム全部に対する勝ち数をW(s)とすると、
W(s) = ΣK(s,j)　(jはs以外）
ですが、ここではチームt以外との対戦における勝ち数
X(s,t)=W(s)-K(s,t)=ΣK(s,j) (jはs,t以外）
を考えます。（なぜなら、単にW(s)とW(t)とを比較するのでは、両者の相関が強いために誤差が大きく出てしまうでしょうから。）
　すると、X(s,t)は
平均(1/2)ΣR(s,j) (jはs,t以外）
分散(1/4)ΣR(s,j) (jはs,t以外）
の正規分布に従います。（もう少し正確に言うと「正規分布で近似できるような、しかも互いにほぼ独立な確率変数K(s,1), K(s,2)…を足し算したから、正規分布で近似できる」のです。）

　次に、「シーズン通算でチームsがチームtよりも多く勝つ」ということが起こる確率P(s,t)を計算します。この条件は
S(s)+X(s,t)+K(s,t)＞S(t)+X(t,s)+R(s,t)-K(s,t)
ということだから（勝った数で優勝が決まるという計算ですが、ひょっとして勝率で決めるんですかね。だとすると「この条件」の式はちょっと修正する必要があるでしょうね。）
S(s)-S(t)-R(s,t)＞X(t,s)-X(s,t)-2K(s,t)
であり、右辺は
平均 m = (1/2)Σ(R(t,j)-R(s,j)) - R(s,t) (jはs,t以外)
分散 v = (1/4)Σ(R(t,j)+R(s,j)) + R(s,t) (jはs,t以外)
の正規分布に従います。（正確には、…以下同様）
　だから、平均0、分散1の正規分布（標準正規分布）で
(S(s)-S(t)+R(s,t)-m)/√v
よりも大きい値が生じる確率を計算すれば良い。特に残り試合数がどのチームも同じなら、
m = -R, v=TR/2
となります。たとえばT=6、R=20, S(s)=60, S(t)=50だったとすれば、
(S(s)-S(t))/√(TR/2) = 1.29
であるから、累積正規分布表をひいて（あるいはexcelならNORMSDIST(1.29)を計算して）、シーズン通算でチームsがチームtよりも多く勝つ確率P(s,t)が
P(s,t)= 0.90
と計算できます。

　ご質問には、対戦の組み合わせごとの残り試合数が書いてありませんので、残り試合数の合計を全部の組み合わせ(15通り)に均等に割り振ってR=14.4試合（端数が出ても、正規分布を使うので計算できてしまいます）とし、P(s,t)を計算してみたところ、阪神が中日を逆転する確率は22%と出ました。また現在３位以下のチームが中日を逆転する確率は、３位ヤクルトが5%、4位以下は1%未満です。だから、中日が首位でなくなる可能性は高々28%、つまり優勝確率は70%余り。
　もともと各試合の勝率が0.5という話だし、近似も入ってる推定なんですから、有効数字を２桁以上言うのは気が引けます。

stomachman · Answer

No.5 stomachmanです。どうもあんまりにも他の方々と結果がちがう。それに、試合の数がさほど多くないのに正規分布で近似するのは危なっかしい気もするし、勝ち数と勝率で結果が違いそうだというのも気になったんで、ちょいと数値実験してみました。

　２つのチームの組み合わせ(s,t)の15通りのそれぞれについて、対決が14試合づつあるとします。
　引き分けはないものとし、勝率は0.5。だからsがtに対してK勝する確率はcombin(14,K)(0.5^14)、このとき、tはsに対して14-K勝したことになります。
　15通りの(s,t)について、それぞれ乱数で勝ち数を計算し、これをご質問にある勝ち数に加えて
(1) 勝ち数の多い順
(2) 全試合数に対する勝ち数の比率が高い順
の二通りで順位を付けます。

　このプロセスを30000回繰り返して、トップを取った回数をチームごとにカウントします。

　結果、トップを取った回数／試行回数を見ますと、
(1)の場合は、
中日78%、阪神19%、ヤクルト2%、巨人1%
(2)の場合は、
中日89%、阪神9%、ヤクルト1%
と出ました。勝ち数と勝率じゃ随分違うもんです。

●ところがです。それどころじゃない、大きな間違いがありました。

　ご質問にある残り試合の数を合計して15通りの対戦に配分したら約14になる。でも、ひとつの試合に参加するチームが2つづつあるんだから、これじゃ試合数を2倍に数えてしまってることになります。あーなんというくだらないチョンボ～

　で、combin(7,K)(0.5^7)に修正して再計算。
結果、トップを取った回数／試行回数を見ますと、
(1)の場合は、
中日88%、阪神12%
(2)の場合は、
中日97%、阪神3%
と出ました。ようやく、辻褄が合ったようです。

　また、No.5の方式で計算しなおすと中日86%。これは勝ち数による計算ですから、数値実験の結果と概ね合っています。

adinat · Answer

♯6様

ご指摘ありがとうございます。どうも勘違いしていて、直接対決の結果がひとつ違うと、中日は二つ余計に負けてくれないといけないのですね。そこが違ったせいで大きな値になっていました。再度計算しなおした結果、阪神が中日を追い抜く確率は3％程度になりました。

現時点での成績を元に、再度計算させてみた結果、阪神が中日を追い抜く確率は5.274％、ヤクルトが中日を追い抜く確率は0.626％となりました。これらが同時に起こりうることもあること、また巨人以下は現実問題として優勝はほぼ不可能であることを勘案して、現在の中日の優勝確率は94.4％と推定します。また阪神の逆転優勝の確率は5％程度でしょう。奇跡とまではぎりぎりいかないまでも、相当に望み薄というのが現実のようですが、球児の踏ん張りのお陰で、多少望みが増したようです。

kumoringo · Answer

#4 様へ。

直接対決がないという仮定が強すぎたのかもしれないと思い、#4 様と同じく直接対決数を 9 として計算し直してみました (今回は Excel ではなくプログラムを作りました)。

すると結果は 3.1% (= 0.0306191920911444) となりました。自信はないのですが、#4 様及び #5 様の結果と大きく異なります。

途中結果を出力してみたところ、#4 様が書いていらっしゃる表の右側の数値が一つおき、即ち 0.5, 0.298321,   0.144622, ……となっていました。あまり時間を掛けたかけたわけではないので間違っているかもしれません。その場合はご容赦下さい。

adinat · Answer

阪神が優勝する確率そのものを計算するのは非常に困難だったので、勝率で阪神が中日を上回る確率を計算してみました。直接対決の結果別の確率も出します。この中には阪神、中日がヤクルトや広島を下回るケースも含まれている（ただしそれらは非常に稀でしょうが）ので、阪神が優勝できる確率はこれよりも小さいです。

左が阪神-右が中日で、その横の数字は直接対決の結果がそのようになる確率、さらにその右が、その直接対決の結果のあと、阪神が勝率で中日を上回る確率（阪神の方が引き分けが少ない分同じ勝数だと中日が勝率で上回るため、阪神がn勝でシーズンを終える場合、中日はn-1勝以下であればよい、として計算しています）です。

9-0…0.001953…0.500000 
8-1…0.017578…0.395683
7-2…0.070313…0.298321
6-3…0.164063…0.213521
5-4…0.246094…0.144622
4-5…0.246094…0.092425
3-6…0.164063…0.055581
2-7…0.070313…0.031368
1-8…0.017578…0.016572
0-9…0.001953…0.008174

これらを合計すると0.133906になります。つまり中日が阪神に勝率で下回る確率が0.133906というわけです。というわけで優勝の確率は現段階では８６．６％未満ということです（阪神以外に優勝を持っていかれる確率もわずかながら残っているだろうから）

まだ９０％に達していないというのは結構意外でした。

♯1様、♯2様。たとえ勝ち負けの起こる確率が五分だからといって、必ずしも全チームが1勝1敗ペースになるわけではないです。簡単な例を挙げると、阪神中日の直接対決をコインを投げて、表が出たら阪神の勝、裏が出たら中日の勝とでもすれば、確率は低いですが、阪神全勝もありえるのです。

♯3様。一応Mathematicaで計算させてみたのですが、僕の計算違いでなければもう少し阪神の優勝確率は高いように思うのですが、いかがでしょうか。中日のV逸の可能性が１３．４％以上だということがもしただしければ、少なく見積もっても７～８％程度はあるように思うのです。単なる僕のミスの可能性も結構高いので、そのときはご容赦ください。

kumoringo · Answer

Excel を使って計算してみました。ただし計算したのは現在二位の阪神が優勝する確率だけです。

これ以降の全ての試合について引き分けはなく、各チームが勝つ可能性を 50％ とします。また、計算が面倒だったので、中日と阪神の直接対決はないと仮定しました。

すると阪神の優勝確率は 1.85% と出ました。実際には直接対決があるので、これよりは高い確率となります。

noname#22488 · Answer

> 残りの各試合を各チームが勝つ可能性を50％
とたら、”各チームのゲーム差は埋まらない（同じだけ勝って、同じだけ負けるのですから）”ので
中日:100％
その他5球団:0%
となります。

noname#33300 · Answer

別に計算していませんが、
＞残りの各試合を各チームが勝つ可能性を50％として、各チームの優勝確率を計算していただけないでしょうか。

とすれば、１００％中日ドラゴンズの優勝でしょう。五分で行けば順位は変わらないから。

中日が優勝する確率

プロ野球は全然知らないのですけどね。

No.5 stomachmanです。

♯6様

#4 様へ。

阪神が優勝する確率そのものを計算するのは非常に困難だったので、勝率で阪神が中日を上回る確率を計算してみました。

Excel を使って計算してみました。

> 残りの各試合を各チームが勝つ可能性を50％

別に計算していませんが、

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　No.5 stomachmanです。