仕入れ250円の商品を定価400円で売ると、1ヶ月に2400個うれる。しかし、10円引くごとに100個づつ多く売れる。このとき最適販売価格はいくらか。
(1)販売数をy、価格をxとすると、y=a-bxという式が成立する。この場合の
aはいくらか。
(2)売上額は、販売数×価格つまり、xy。これをr=xyとし、利益BはRから費用Cをひいたものである。この場合C=500+2yとする。つまり、500円は固定費、2円は変動費である。b=r-c=xy-(500+2y)となる。
此れをxのみの式にし、bを微分して極値をもたらすxの値をもとめよ。
(3)そのとき、販売個数はいくつになるか。また最大の利益はいくらか。
全く歯が立ちません。手ほどきをお願いします。

A 回答 (1件)

(1)y=a-bxだから、400円で2400個売れる場合、


  2400=a-b(400)...*1
10円引くと100個多く売れるので、390円で2500個となり
2500=a-b(390)...*2
*2-*1を計算すると、 100=10bとなりb=10が求まる。
これを*1に代入すると2400=a-4000となり、a=6400が求まる。
(2)b=xy-(500+2y)に(1)の式を当てはめると、
b=x(6400-10x)-500+2(6400-10x))
=-10x^2+6420x-13300
これを微分すると、
b'=-20x+6420となり、極値は傾き0の点なので
0 =-20x+6420
20x=6420
x=321となる。
(3)販売個数は、
y=6400-10(321)=3190(個)
最大の利益は、
b=-10(321)^2+6420(321)-13300
=-1030410+2060820-13300
=1017110
となると思います。(計算は検算してね)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
最初の出発点がわからず、困っていました。
大変解りやすい説明で助かります。
物事の考え方を教えていただき感謝します。
この企画にも感謝します。
今後もよろしくお願いします。

お礼日時:2002/03/22 23:42

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1) x2+y2

2) 1/x + 1/y

3)x3 +y3

お時間ございましたら
解き方教えて下さい(_ _)

Aベストアンサー

1) x^2+y^2
=x^2+2xy+y^2-2xy
=(x+y)^2-2xy
=(√5)^2-2×1
=5-2=3

2) 1/x + 1/y
=y/xy+x/xy=y+x=√5

3)x^3+y^3
=(x+y)(x^2–xy+y^2) ← この変形は公式?をそのまま使う
2つ目の()内は1)の値を使う
=√5(3-1)=2√5

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x+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。
という問題です。出来るだけ詳しい回答をお願いします。

Aベストアンサー

x^2+xy+y^2=1をu,vで書きなおすと
u^2-v=1
よって
v=u^2-1 (1)
uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、
従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが
一つ条件を忘れています。
それはx,yが実数であるということです。
x,yを解とする2次方程式は
t^2-(x+y)t+xy=0
よって
t~2-ut+v=0
これが実解を持つ条件は判別式Dが
D=u^2-4v≧0

v≦u^2/4 (2)

u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると
結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK)
であることが解ります。
最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで
uの最大値は2√3/3、最小値は-2√3/3

さらにこのようなx,yが存在することを確認することが必要です。
u=2√3/3のときx=y=√3/3,u=-2√3/3のときx=y=-√3/3
よってOKです。

Qy=0.4431e^(-0.708x) x=0 の時 y=0.4431 y=0.4431/2 こ

y=0.4431e^(-0.708x)

x=0 の時 y=0.4431

y=0.4431/2
ここの式からわかりません!

y/0.4431=e^(-0.708x)
-0.708x=ln(y/0.4431)
y=0.4431/2を代入すると
-0.708x=ln(0.4431/(2×0.4431))
-0.708x=ln(1/2)
-0.708x=-ln2
0.708x=ln2
x=ln2/0.708
=0.693147181/0.708
=0.979=58.7秒

Aベストアンサー

y=0.4431/2 ← 初期値の半分です

y=0.4431e^(-0.708x)
y/0.4431=e^(-0.708x)
これは0.4431を左辺に移しただけ

y=e^x の逆関数 x=ln(y)
を使ってxを求める、ここから高校あたりの数学です。

-0.708x=ln(y/0.4431)

逆関数にした後、 y=0.4431/2を代入すると
-0.708x=ln(0.4431/(2×0.4431))
対数関数の中身の分数を単純に通分して
-0.708x=ln(1/2)

対数関数の公式で
ln(1/b)=ln1-lnb となる
ln1は底がeですが対数は、底>0の時、真数が1の時、0となるので
ln1=0
-0.708x=ln(1/2) ← ln(1/b)=ln1-lnb
-0.708x=ln1-ln2 ← ln1=0
-0.708x=-ln2
0.708x=ln2
x=ln2/0.708 ← ここで関数電卓でも対数表でも使ってln2の値を求める
=0.693147181/0.708
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[1] Pは極小点である
[2] Pは極大点である
[3] Pは極点ではない
[4] Pでのヘッシアンは負である

で[4]を選んだのですが、合っていますでしょうか?

Aベストアンサー

#2です。

結果だけでは分かりづらいのでz=f(x,y)(x>0,y>0)の3次元のグラフを描いて添付します。
z=f(x,y)が停留点(1,1)で極大値f(1,1)=1を取ることがイメージ的に分かるかと思います。

Q円:x^2+y^2=1と線:y=3x-3の接点の求め方

円:x^2+y^2=1と線:y=3x-3の接点の求め方


数学の参考書に 

x^2+y^2=1とy=3x-3の接点は
(x,y)=(1,0),(4/5,-3/5)

とありました。

(1,0)は、わかるんですが、x5分の4,yマイナス5分の3がどうすれば求められるか分かりません。
教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

>x^2+y^2=1…(1)とy=3x-3…(2)の接点は
>(x,y)=(1,0),(4/5,-3/5)

「接点」は「交点」の間違いです。
グラフを描けば分かると思いますが、(1),(2)は2点で交わります。

(1),(2)を連立方程式として解けば2交点が求まります。
(2)を(1)に代入すると
x^2+9(x-1)^2=1
括弧をはずし式を整理すると
10x^2-18x+8=0
2で割ると
5x^2-9x+4=0
(5x-4)(x-1)=0
x=1,4/5

x=1のとき (2)から y=0
x=4/5のとき (2)から y=3{(4/5)-1}=-3/5

連立方程式の解の組(x,y)=(1.0),(4/5,-3/5)が(1),(2)の交点の座標になるから
2交点の座標は (1,0)と(4/5,-3/5) となる。


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