振幅と強度の関係

ウィキペディアの「振幅」のページ
－＞http://ja.wikipedia.org/wiki/振幅
に「振幅の2乗は波動の強度に比例する」という文章がありましたが、振幅の２乗が強度に比例するのがなぜだかわかりません。

イメージや簡単な式からの導出など、なんでもいいので教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： ht1914 回答日時： 2006/09/11 11:06

単振動と弾性エネルギーの表現はもう習っておられますか。

復元力が働くとき、物体は振動します。復元力が変位に比例するときの振動は特に単振動（調和振動）と呼ばれています。変位の時間変化はｓｉｎまたはｃｏｓで表されます。復元力をＦ＝ｋｘと置いたときのｋを弾性定数といいます。復元力ですからＦの向きは変位ｘと反対向きです。

バネでも振り子でも振動するものには当てはまります。ものによってはＦ＝ｋｘが成り立たない場合もありますが変位があまり大きくない場合はたいてい当てはまります。

バネは引き延ばすときに仕事が必要です。はじめは小さい力で伸びますが伸びが大きくなるに従って大きな力が必要になります。バネをＬ伸ばすときに必要な仕事はＬ×（平均の力）＝Ｌ×［ｋ（Ｌ／２）］＝（１／２）ｋＬ＾２です。

振動しているバネの場合、「運動エネルギー＋弾性エネルギー＝一定」となります。振動の折り返し点での変位が振幅です。この時運動エネルギー＝０ですから弾性エネルギーだけになります。弾性エネルギーは振幅の２乗になっています。

振り子の場合、折り返し点での角度をθとすると位置エネルギーはｍｇＬ（１－ｃｏｓθ）です。この時振幅ｄはＬｓｉｎθです。

角度が大きくないときｃｏｓの値はほぼ１に等しいですから
ｄ＝Ｌｓｉｎθ＝２Ｌｓｉｎ（θ／２）ｃｏｓ（θ／２）
～２Ｌｓｉｎ（θ／２）
位置エネルギーは
ｍｇＬ（１－ｃｏｓθ）＝２ｍｇＬ［ｓｉｎ（θ／２）］＾２～ｍｇｄ＾２／２Ｌ
となります。


波は振動が空間を伝わっていく現象です。単振動でエネルギーが振幅の２乗になっているのであれば波の場合も同じになると考えられます。

この回答へのお礼

すごくわかりやすいご回答ありがとうございます。式でイメージがむすびつきました。

お礼日時：2006/09/16 00:16

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2006/09/11 10:14

#1さん回答にもありますが、強度はエネルギーに対応しています。

エネルギーというのは、二つの量の掛算になります。(例えば、電圧と電流、変位と圧力、変位と速度、電解の強さと電束、磁界の強さと磁束などなど)
でもって、状況が同じなら、この二つの量(例えば、電圧と電流)は比例関係にあります。(同じインピーダンスのもとでは、電圧が二倍なら電流が二倍)

結果、強度(エネルギー)は、ある量(例えば電圧)の振幅の二乗に比例すると。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2006/09/16 00:18

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/09/11 07:56

いきなり、「振幅の2乗は波動の強度に比例する」といわれても、理解しにくいと思います。

ここでいう、強度というのはエネルギー密度（単位時間あたりのエネルギー）のことです。具体的な例で考えてみましょう。波動は身近なところでは、音波、振動、電磁波等がありますが、これらの、音波、振動、電磁波のエネルギー密度は振幅の２乗に比例しています。ここでの、基本的な概念は「振動」です。計算すると明らかですが、振動のエネルギー密度は確かに、振幅の２乗に比例しています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2006/09/16 00:20