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森博嗣「笑わない数学者」の中に出てくる問題なのですが、
本文をそのまま書きます。
「5つのビリヤードの球を真珠のネックレスのようにリングにつなげてみるとしよう。たまには、それぞれナンバーが書いてあるな。さて、この五つの球のうち、いくつとってもよいが、隣同士連続したものしかとれないとしよう。一つでも、2つでも、五つ全部でもよい。しかし、一つでも離れているものはとれない。この条件でとった球のナンバーを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバーをどのように並べて、ネックレスを作ればいいかな?」

いろいろやってみたんですけどできないです。(そんなはずはないが)
さらに、後文に「問題の球の数が4つでも成立する。では、6個ではどうかn個ではどうか」とも書かれていました。
ということで一般項も知りたいです。

自分なりに考えたんですけどまず1は必ずいりますよね。
あと5つの総和が21以上であること。
1のとなりに1が隣り合うか、もしくわ2が必要ですよね
ということで残り3つを決めればいいのですが中々うまくいきません。
数学の問題というよりは算数及びクイズ的なものですが教えてください。

A 回答 (8件)

zabuzaburoさんのおっしゃる通り、


玉1個の選び方が5通り、2個3個4個の場合も5通りづつで、5個の場合が1通り、すなわち5つの玉の選び方が21通り。というわけで、すべて異なる合計21になる5個の数字を見つければいいわけです。
このように考えれば、n個のときもやり方が見つかる?そんなに甘くはないようですね(笑)。
ちなみにこれ、'95算数オリンピックのトライアルの問題です。小学生でも解ける問題ということで、大人も頑張らないと!ですね。
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基本的には zabuzaburo さんと同じやり方で解きましたが、



4個の場合、
 1-2-6-4
 1-3-2-7
の2通りがあります。

5個の場合は zabuzaburo さんが書かれているように
「1-5-2-10-3」の場合だけでした。

また、6個の場合には
 1-3-6-2-5-14
 1-3-2-7-8-10
 1-2-7-4-12-5
といったものが見つかりました。
(6個は数え落としがあるかもしれません)


このように、球の個数によって解の個数が異なるので
一般解はなかなか難しいのかもしれません。
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>hinebotさんへ


>私はビリヤードはあまり詳しくないのですが
>(初めてやったときあまりに下手だったのでやめてしまった)
>確か15個くらい使って行なうゲームがあったような気がします。
>なかなか心臓に悪いツッコミでした(^^;)

変なツッコミをしてしまい、申し訳ありません。
ビリヤードというとナインボールしか知らなかったので(汗)
ちょっと調べてみたところ、確かに的球は15まであるようです。
ですので、問題はなかったですね。失礼致しました。
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「論理的に求まる」というのは、ちょっと言い過ぎたかもしれません。


できるだけ可能性を絞り込めば、試行錯誤は意外に少なくて済む、という意味です。
「n個の場合」に使えるような一般的な方法を見つけた、という訳では
ありませんので、あしからず。

まず、「ネックレスの5個の球から隣り合うものだけを取り出す方法」自体が
ちょうど21通りありますから、
「取り方」と「できる数字の和」とは一対一に対応しなければなりません。すなわち、
■取り方が違うのに和か同じになってしまうような無駄が見つかったら、
その時点でその並べ方は「アウト」です(最重要)。
同じ数字の球が入っていると無駄が生じるので、それもありえません。
■5個の球の数字の和はちょうど21のはずです。
21より大きい和を作る余裕は無いからです。
■1の球と2の球は絶対に必要です。
これらは他の球の数の和では作れないからです。
そこで、残りの3つの組合せを考えればよく、
■「すべて3以上の整数の組で、互いに異なり、和は18である」
というのが最低条件です。そして、
■「3の球も4の球も使わない」というのは不可能です。
和4が作れなくなってしまうからです。

これだけのことを考えると、使う球の組合せの可能性は次の6通りに絞られます。

(ア)1-2-3-4-11
(イ)1-2-3-5-10
(ウ)1-2-3-6-9
(エ)1-2-3-7-8
(オ)1-2-4-5-9
(カ)1-2-4-6-8

(ア)1-2-3-4-11
1が2と隣り合ってしまっては和が3になり、3の球があるので無駄が生じます。
同様に1は3と隣り合うこともできません。
したがって、1の両隣りには4と11が来ることになり、
空いたところに2と3が隣り合って入るしかありません。
すると、5の作り方が2通りできてしまう(1+4と2+3)のでダメです。

これと全く同じ手順で排除できるのが、(エ)(オ)(カ)です。

(エ)1-2-3-7-8
1は2と隣り合うことも7と隣り合うことも許されません。
したがって1の両隣りは3と8が来て、
空いたところに2と7が隣り合って入るしかありません。
すると9の作り方が2通りできてしまう(1+8と2+7)のでダメです。

(オ)1-2-4-5-9
4は1と隣り合うことも5と隣り合うことも許されません。
したがって4の両隣りは2と9が来て、
空いたところに1と5が隣り合って入るしかありません。
すると6の作り方が2通りできてしまう(2+4と1+5)のでダメです。

(カ)1-2-4-6-8
2は4と隣り合うことも6と隣り合うことも許されません。
したがって2の両隣りは1と8が来て、
空いたところに4と6が隣り合って入るしかありません。
すると10の作り方が2通りできてしまう(2+8と4+6)のでダメです。

さらに、(ウ)も次のように除外できます。

(ウ)1-2-3-6-9
1と2は隣り合ってはいけませんから、両者を離して配置すると、その間に空席が1つ(Aとします)、反対側に空席が2つ生じます。Aには3,6,9のいずれも入ることはできません。なぜなら、3が入れば「1+3+2=6」となり、6が入れば「1+6+2=9」となり、9が入れば反対側の空席に3と6が隣り合って「3+6=9」となるので、それぞれ無駄が生じるからです。

残るは(イ)です。
(イ)1-2-3-5-10
2は1と隣り合うことも3と隣り合うことも許されません。
したがって2の両隣りは5と10が来て、
空いたところに1と3が隣り合って入るしかありません。
3を5の側に置くと、「3+5+2=10」となりダメです。
したがって、「1-5-2-10-3」の場合だけが残ります。
そして、この配置で和を作ると全ての数が作れることが分かります。
したがって、この配置が「唯一の答」ということになります。

こういうのを「理由」として期待されていたわけではないかもしれませんね。
もしそうだったらごめんなさい。

hinebotさんへ
私はビリヤードはあまり詳しくないのですが
(初めてやったときあまりに下手だったのでやめてしまった)
確か15個くらい使って行なうゲームがあったような気がします。
なかなか心臓に悪いツッコミでした(^^;)

この回答への補足

わかりやすい解説ありがとうございました。
いわれてみると簡単ですね。
こういう複雑そうに見える問題(私には見える)を簡単そうに見せる
テクニックというか発想というものを身につけたいです。

補足日時:2002/04/12 15:32
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解けました、1-3-10-2-5です。


答えあわせしてみてください。。。一般解は。。。勘弁してください。。。
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zabuzaburoさんへ



それじゃ駄目なんじゃないでしょうか。
「1,3,10,2,5」で確かに隣り合う数字を組み合わせて1~21まで作れますが、ビリヤードの球に10ってありましたっけ?
確か、9が最大と思うのですが…。
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1,3,10,2,5でどうでしょう?


けっこう論理的に答えは出ますので
必要ならば解説します。

この回答への補足

答えは書きながらやったら理由はわかりませんができました。
理由を教えて下さい。

補足日時:2002/04/12 00:28
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頭をひねってみました…


3つ=1-2-4=1~7まで全て

4つ=1-3-2-7=1~13まで全て

です。
隣り合うならばいくつでも取って良いと言う場合の取り方組み合わせは
3つ=7通り、4つ=13通りです。

そうすると5=21通りなので、1と2は必ず存在して残り3つとの合計が21になる組み合わせになりそうです。
1+2+A+B+C=21です。
もう少し悩んでみます。。。
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