黄金比の収束点

1対φ　の割合の長方形から、正方形を抜き取ると、また　1対φ　の長方形が現れますよね、その正方形の一辺を半径とし、円を描きます、この作業を続けて行くと、円が渦を巻いてある点に、収束しますよね、、この点を調べたいのですが、、どうやってやればいいのか浮かびません、教えて下さい。。　

No.1 回答者： hikaru_mac 回答日時： 2002/04/23 01:12

４回ごとに同じ絵になるとおもう。

（360度まわるので。）
とりあえず、収束するころには、円の周も中心も座標が同じなので、
なんでもいいからどっちかきめて、（例えば円の中心の座標。）
それの漸化式をたてて解くべし。

実際は毎回同じ絵がくり返されるけど、90度ずつずれていて考えにくいと思われる。

黄金比はたしかいろいろったとおもう。
>1対φ　の割合の長方形から、正方形を抜き取ると、また　1対φ　の長方形が現れますよね、
φの値はいくらですか？計算で出るはずですが。
一番シンプルなやつですか？

座標の漸化式と言いましたが、例えば初めの長方形の４頂点が
（0、0）、（φ、0）、（0、1）、（φ、1）になるようにおいてみればいいとおもう。

とりあえず、図を書いてみて下さい。

あと、どうして知りたいのですか？

No.2 回答者： baihu 回答日時： 2002/04/23 11:59

元の長方形の対角線と、正方形を除いた後に残る相似形の長方形の対角線が交わる点です。

対角線は２本ずつありますので候補は４点あるのですが、図を描けばすぐ分かります。
（証明、必要でしょうか……）^^;

ちなみに黄金比とは違いますが、１：√２の長方形や直角二等辺三角形を相似形に２等分
していっても、同じように対数螺旋を描きます。

No.3 ベストアンサー 回答者： motsuan 回答日時： 2002/04/24 17:17

数列、図形ときたので、線形代数（連立方程式）もいれといてください。

渦巻き図形を描いた長方形を縮小して、正方形を取除いた長方形に重ねると
渦巻きの図形はぴったり重なるはずです。そして、収束点も当然同じです。
ですから、このひとつの変換に対して変わらない点を見つければよいということになります。
とりあえずφ<1として（0,0）, （φ,0）, （0,1）, （φ,1）の図形を用意し、
(1)図形を90度回転　T(行列です）　して、
(2)φ倍して、
(3)ベクトル(φ,φ)だけ動かした
ときの不動点だから
φT(x,y) + (φ,φ) = (x,y)
を解けばよいのではないでしょうか？
（この変換に対しては解(動かない点）は
　ひとつしかないことがこの方程式からわかります。）