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図がかけないので、以下のURLの右の写真をみていただけないでしょうか?

http://pds.exblog.jp/pds/1/200510/21/06/b0035506 …

立方体の固まりから、各面において穴を掘ったような型です。
または、分厚い辺だけからなる立方体ともいえます。
この表面だけを考えたとき、何人乗りの浮き輪の表面と同相なのでしょうか?

また、

http://mud.mm-a2.yimg.com/image/508729162

ではどうなるのでしょうか?

さらに、

http://mud.mm-a2.yimg.com/image/508815359

ではどうなるのでしょうか?

A 回答 (5件)

最初の例はg=5ではないでしょうか。


まず穴が一つだけのときは球面と同相です。
あとはハンドルを5つ取り付けたものと同相なので
g=5でしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。画像を少し大きなものに変更しました。
一つ目のhttp://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …
は5箇所の「穴」につめものをすれば、凹んだ立方体になり、それは球面と同相になります。
つまり、穴が5つのトーラスと同相ですね。

次に、2個目の
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …
ですが、「穴」につめものをして、1個目の形にすることを考えます。
大きな立方体(9*9*9)の頂点に有る小キューブ(3*3*3)を考えます。
それと隣り合う小キューブ(3*3*3)との連結部分につめものをしてみます。それは3個必要です。すると、元の小キューブ(3*3*3)には3個の穴がありますが、2箇所につめものをすればいいことがわかります。
頂点に有る小キューブ(3*3*3)は8個あるので、合計(3+2)*8=40個。

つぎに、大きな立方体(9*9*9)の辺に有る小キューブ(3*3*3)を考えます。さきほど、隣接部分につめものをしたので、残り4箇所の穴がありますが、3箇所につめものをすればいいことがわかります。
辺に有る小キューブ(3*3*3)は12個あるので、合計3*12=36個。

これで、一つ目で考えた形になりました。その穴は5つでした。

よって、穴は合計40+36+5=81個。
これであっていますでしょうか?

お礼日時:2006/12/15 11:15

NO2です。


なるほど大変巧妙な考えです。
おそらく正しいと思います。
穴を全部ふさぐと中に空間が出来てしまうので
中の空間と外をつなげるのに埋める穴を1つ引いたのですね。
このようにして出来た立体はg=5のトーラスの表面をうがった
だけですから同相ですね。
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#2です。


> 一つの穴を思いっきり広げて、全体を平たくしたような状態を考えてみてください。
と書いておきながら、間違えてました。そういうふうにすると5人乗りの浮き輪と同じですね。
すみませんでした。
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穴の数と同じだけの人数分の浮き輪(最初の例なら6人乗り)と同じなのではないでしょうか?


一つの穴を思いっきり広げて、全体を平たくしたような状態を考えてみてください。
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穴の数が数えられるなら、ご推測のとおり、何人乗りの浮き輪の表面と同相ではないかと思います。

記憶があいまいですが、位相幾何で習った分類では、それ以外には考えられないのではないかと思います。

参考URL:http://www.mm.sophia.ac.jp/~yokoyama/kenkyu.html
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