缶詰の形、表面積一定で体積最大なもの

非線形計画問題として、表面積一定の円筒形の缶で、その体積が最大になる形を求めたいのですが、全く方針がたちません。目的関数をどのように設定したら良いのでしょうか。
よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#22058 回答日時： 2006/12/14 15:50

ヒントになるかどうかはわかりませんけれど…。

円筒の半径をr, 高さをhとします。
円筒の底にあたる部分と上蓋にあたる部分の
面積はそれぞれ等しく、π(r^2)です。
また、円筒の周囲の長さは2πrですので、
周囲の面積は2πrhです。
表面積=2π(r^2)+2πrh=2πr(r+h)です。
一方、円筒の体積は底面×高さ=π(r^2)hです。
2πやπは定数なので、勘定に入れないことにします。
すると、問題は、
「r(r+h)が一定であるときの(r^2)hの最大値を求める」
ことに帰着します。
r(r+h)=k（一定）とおくと、h=(k/r)-rとなります。
これを(r^2)hに代入すると、rk-(r^3)となり、
rに関する3次式ができます。
この3次式をゴニュゴニュすれば、もしかすると
答えらしきものが見えてくるかもしれませんし、
さらに泥沼にはまりこむかもしれません。

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2006/12/14 22:52

おっと失礼。

#3です。

最後の式は

V^2=π^2A^2r^6=k^3A^2/8π(A+1)^3

ですね。

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2006/12/14 22:35

円筒形の形は底面(円)の半径rと高さhしか変数はありません。

つまり、円筒形の形とはこのrとhの比率に他なりません。
今、この比率をAと置くと、すなわち

A=h/r

h=Ar

とすると総表面積は

2πr^2+2πrh=2πr^2+2πAr^2=2πr^2(A+1)=k

r^2=k/2π(A+1)

一方、体積は

V=πr^2h=πAr^3

V>0 よりV^2が最大の時、Vも最大になりますので

V^2=π^2A^2r^6=k^3A/8π(A+1)^3

今、kは定数ですからVをAでのみ表すことができました。後は
これをAで微分して最大値を求めてみるとVが最大になるAが決まります。
それが総表面積一定におけるVを最大にする円筒形の形です。

No.1 回答者： yanasawa 回答日時： 2006/12/14 15:45

昔やったのを思い出しながら・・・

底面の円の半径をr、高さをhとすると
表面積　2πr^2+2πrh　=k（定数）とする
体積　　V=πr^2h
ここから、体積をhのない式にして、Vをxで微分し、様子を調べればいかがですか。
その途中がたいへんややこしくなりますので、定数の表し方などの工夫も考えてみられたらいかがでしょうか。
答は書きませんが、簡単な結果が得られます。