とにかく、何か分かっていることがあれば教えてください。

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A 回答 (5件)

まあいいや、思いつくままに述べちゃおう。

申し訳ないけど推敲しませんので...
計算量の理論です。
NP問題とは、解を探索するには指数関数的時間が掛かるが、解を与えられたとき、それが解であることを検証するのは高々多項式時間でできる、っていうやつですね。
逆に言えば、解を探索するときにいっぱい場合分けが出来てしまう。X=TRUEかFALSEか。その分岐点に来たとき、コンピュータをもう一台持ってきて、メモリ・ディスク・レジスタの内容を全部コピーする。そして一方はX=TRUE, 他方はX=FALSEと仮定して計算を進める(non-deterministic)。こうするとコンピュータの数が指数関数的に増えていくけれども、どれかのコンピュータが「出来た!」と叫ぶまでの時間は多項式時間である。そういうことになります。
で、大概の難しい問題がこれに該当する。もっと難しい、本質的に指数関数時間掛かる奴や、決定不能の問題まであるけれど、諦めがつかない程度の難しさの奴がちょうどこのクラスである。さらにNP問題のいやらしい所は、これを多項式時間で解くことができない、という証明もどうしても出てこないという点である。ここまでの話では、もしあるNP問題が多項式時間で解ける、というアルゴリズムを示したら、それはその問題が実はP問題であった、というだけのことです。へたにやればNP、上手にやればP。
さて、NP問題の内に、その問題に他の問題が多項式時間の処理で帰着できるような、そういう問題のクラスがあることが分かった。それをNP完全問題という。これに関しては、「多項式時間で解くことができない」という証明も「実はP問題である」という証明も出来ていない。そのくせ「XXという問題は実はNP完全でした」みたいな証明ならわさわさ出てくる。
もしひとつのNP完全問題について「実はP問題である」と証明したら、NP問題はみんなP問題になる(NP=P)。大発見!でもこんな事もはや誰も信じてないだろう。むしろ、「NP=P?」は証明も、また反証も不可能であるような、いわゆる決定不能命題じゃないか、という疑いすらある。(ゲーデルの不完全性定理。「数学」カテゴリーの最近の質問にあるのでご参照ください。)
例えば、巡回セールスマン問題、ナップザック問題、いやさ素因数分解がそもそもNP完全だ。じゃあこれを逆に利用して、答えから問題を作る(これはP時間)ことによって通信の暗号につかっちゃおう、解くのには指数関数時間掛かるから安全だ。というのが公開鍵暗号です。
さて、多項式だ指数関数だ、ってこれはいずれも時間だけの話。時間のみならずメモリの使用量だって重要な計算リソースじゃないの?という尤もな反論がある。そこで両者を含めて計算量の理論が作られるようになった。
それから、幾ら多項式時間と言っても、その指数や係数が巨大で、とんでもなく時間が掛かるやつもある。こういうのは実用上はやっぱり使えない。こういうのアリ?という反論もある。逆に、実用上重要な行列のかけ算やFFTなどは、一所懸命、係数を僅かでも改良することをやっています。また計算幾何学、という分野がある。これなんかでも図形を対象にした処理の具体的なアルゴリズムを一所懸命研究している。計算誤差まで考慮すると手間が変わってきたりして、なかなかデリケートである。つまり具体的なアルゴリズムの研究=泥臭い現場の研究と、この計算量の理論とが乖離して来ちゃった。計算量の理論がアルゴリズム研究の役に立ってない。ただの数学のお遊びに堕してるんじゃないの?

これが今までの話。

ここに来て、少し状況が変わりつつある。これまでの前提はノイマン型コンピュータ、あるいは万能オートマトン。一度にひとつの演算を順番にやっていく機械でした。ところが、DNAコンピュータというものは、非常に多くの生化学分子を演算素子として使うことによって、極端に並列度の高い計算ができる。数学者に言わせれば、所詮有限個の演算素子を並べただけの並列計算、NPがPかという問題には本質的に何の影響もない。でも実用上は違う。問題の規模が一定以下なら、NPでも指数関数時間の問題でも、多項式時間で解けてしまう筈。あるいは、ちょっと時代がさかのぼるけど光コンピュータ、これも並列度が高い上に、こいつは速い。NMR(核磁気共鳴)を使った原子核スピンによる計算も超並列計算だけど素子の数が莫大だ。その上を狙ってるのかおもちゃなのか、まだ分からない奴に「量子コンピュータ」がある。これはX=TRUEとFALSEの両方の状態を「混合状態」として「重ね合わせ」たまま計算を進めることが(今のところ僅かなステップだけだけど)出来るようである。リュードベリ原子(極度に励起された原子)1個に莫大な量の情報を載せる技術も出てきた。こうなると、公開鍵暗号なんて使い物にならなくなる?という状況にあります。

この回答への補足

stonachmanさん、すっごいです、この事の専門家なのですか?
私が調べなくてはならないのは、NP問題の中で、NPCということを定義することの意味、つまりNPCということを定義したために
そのことが数学界に(大袈裟ですが)もたらした効果と、しかし、始めに期待されたようには行かなかった、その現状と、
NPCから起こる悪影響、数学のこの方面の発展性を逆に別の方向に向けたり、止めたりしてしまっていること、
等がありましたら、教えてください。

ほんとにほんとに、先ほどの情報だけでもすごく助かっています。
感動してます!
もしよければ、さらに教えてください。
これから授業なので、その最中に先ほど送って頂いた内容を熟読してきます!

補足日時:2001/01/11 14:56
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toronさんにお願いがあります。


この「OkWeb」もしくは「教えてgoo」は、質問者の悩みをよってたかって解決しよう、という主旨の他に、質問-回答を黙って読んでいる方も多いはずです。
そういう方々のために、「計算量が多項式時間である」「指数関数時間である」という事の簡単な説明を補足してから、この質問を閉じていただけないでしょうか。
宜しくお願いいたします。

この回答への補足

はい、計算量が多項式時間である、というのは、ある入力量nがあったときに、
それが正しい出力を得るまでにかかる時間が、n^2とかn^3といった、多項式で表せる範囲である、というもので、
指数関数時間である、というのは時間が2^nや3^nといった指数関数で表す分か借る、と言った意味です。
nが2や3である場合は両者にあまり変わりがないのですが、例えば1000だと考えると、指数関数のほうは表すことが不可能なくらい大きな物になってしまいます。
よって、難しい問題、一目では何がなんだか分からない問題を解こうとするとき、
それが多項式時間で解けるか、それとも指数関数時間かかってしまうのか判定できるということは、非常に重要なことなのです。

今回の私の質問は非常に専門的で、何がなんだか分からない人が多かったと思います。
ごめんなさい。でも、協力して頂けて非常に助かりました。

補足日時:2001/01/15 14:23
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補足を拝見しました。


天下の一般人stomachmanの素人考えですが、ある概念が出来たからといって、それが数学界の足をひっぱったとは思いません。もっと別のオリジナルを考えるのが本物の数学者ですもん。そんな軟弱なものじゃないですよ。そりゃ、中にはNP=P問題を追求して一生を棒に振った奴もいっぱいいるでしょうが....
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この回答へのお礼

stomachmanさん、どうもありがとうございました。
とても参考になりました。
参考書も借りてきたので、これから地道にレポートを書きます。

お礼日時:2001/01/12 16:21

なんと! toronさんの補足以上に見事に要約するのは他の誰にも不可能なんじゃないか、と思うほどですが、具体的にあとどんな情報があ

れば、宜しいんでしょう?
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これだけじゃ分かんないですよ。

NPCって何のことですか。
ひょっとしてNon-deterministic Polynomial Complete?

この回答への補足

はい、そうです。NP(Non-deterministic Polynomial)問題から多項式変換可能な
NP問題を、NPの中のNPという意味で、NP完全(NP complete;NPC)と定義した、
NPCのことです。このNPC問題を1つでの多く発見し、そのどれか1つについて
Polynomialかそうでないかを確定できれば良い、という問題設定のもとに過去30年ほど
様々な模索が試みられてきそうなのですが、それが成功していないとのことです。
ので、そのNPC概念の意義と問題点をまとめなくてはならないのですが・・・。

補足日時:2001/01/11 10:13
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Q文字列探索KMP法の計算量について。

KMP法の計算量についての質問です。
(1)計算量がO(M+N)になるのは何故か?
(2)この計算量は漸近的には改善できない最善のものであると記載されているが、それは何故か?
※テキストの長さ=N、キー(パターン)の長さ=M

参考書を見て勉強していたのですが、計算量については省略されてしまっていたために不明なままです。どなたかご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

Aベストアンサー

> (1)

メインな文字列の検索処理についてみると、テキストの個々の文字について1回しか比較を行いませんから、O(N)になります。
ですが、KMPではその前にテーブルを作る必要があります。こちらの処理はO(M)になります。
両方あわせるとO(M+N)です。

> (2)
文字列検索をするためには、「テキストの全ての文字を調べる」必要があり、そのためには最低でもO(N)は必要です。
O(N)より小さい、O(log N) や O(√N) では、全ての文字を調べることができません。
同様に、検索パターンの方も全ての文字を調べる必要があるから、こちら側では最低でもO(M)が必要です。
つまり、両方あわせると、最低でもO(M+N)は必要、ということになります。

Qもしあれば、数学に使う記号について書いてあるURLを教えてください

もしあれば、数学に使う記号について書いてあるURLを教えてください

あと、『Φ』の日本名はありますか?

Aベストアンサー

wikipedia

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

他にも。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%22+%E4%B8%80%E8%A6%A7&lr=&aq=f&aqi=g1g-m1&aql=&oq=&gs_rfai=

Q漸近線を求めるときの場合分け

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問です。問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題
で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。

勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
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問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問で...続きを読む

Aベストアンサー

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。
具体的にどのような解答なのか分かりませんが、多分、問題ありません。

ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x (★をxで割ってx→∞としたもの)
としてaを求めます。このaを元に
b=lim[x→∞](f(x)-ax)
としてbを求めます。(もちろん、これらが収束する保証はありませんが、収束しないのなら、漸近線を持たないという事です)


>また、問題
>で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。
y軸に平行な漸近線というのは、y=1/xにおけるy軸とか、y=tanxにおける、直線x=π/2のような奴です。
要するにf(x)がx→α(有限の値)で発散するような奴です。ほぼ100%、分母が0になるような奴です。
>y=2x+(x^2-1)^(1/2)
は、途中で発散することがないので(いたるところで連続ですから)、y軸に平行な漸近線を持ちません


>ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。

「南京玉すだれ」って分かりますか?
http://www.eonet.ne.jp/~tosimaru/
↑こんなのです。これの竹串(?)って、何か竹串に平行な方向にずれますよね。
※各竹串は、普通全部同じ長さですが、それぞれ長さが違うとしましょう(y=f(x)の形)

この竹串が垂直になるように、水平な面に置くと、すだれの上端はy=f(x)という形状になっているはずです。

でも、坂道に置くと(各竹串の下端を地面につける)、すだれの上端はy=f(x)という形にはなってませんよね。
坂道の高さ(?)+すだれの高さ(=f(x))
っていう感じの形になっているのがイメージできませんかね?

これと同じように、
y=2xという「坂道」の上に、√(x^2-1)という形の「すだれ」を置いている、というイメージで
y=2x+√(x^2-1)というグラフの形状をイメージしてみよう、
という感じの意味ですね。
(・・・って、上手く説明できません。。。図は書けないし、日本語は下手なので、分からなかったら、やんわりとスルーしてあげてくださいw)

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでし...続きを読む

Q数学の分数のたしざん、ひきざんで 約分をすることがあるのですが するときとしないときの違いが分かりま

数学の分数のたしざん、ひきざんで
約分をすることがあるのですが
するときとしないときの違いが分かりません。
途中の式で、約分できたら、全てしますか?
約分できても、しないときもありますか?

Aベストアンサー

足し算、引き算する分数の分母が同じなら約分しませんよ。

Q漸近線の求めかた??

y=x+1+1/(x-1)のグラフを描く問題なんですが、増減表(添付図)を書いた後教科書では次のように漸近線を求めています。

lim[x]→1+0]y=∞, lim[x→1-0]y= ー∞であるからx=1はこの曲線の漸近線である。
さらに
lim[x→∞]{y-(x+1)}=0
lim[x→-∞]{y-(x+1)}=0
だからy=x+1もこの曲線の漸近線である。

[質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?
 
[質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように
リミットの中の式をlim[x→∞]{y-(x+1)}=0 という形にしているのでしょうか?
(これで確かにy=x+1は漸近線ということがわかりますけど・・)

漸近線を求める上での考え方がよくわかりません。意味不明な箇所があるかもしれませんが、教えてください。

Aベストアンサー

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特に、右辺のそれぞれの項がどうなるかを考えると良いです。

x がどんどん大きくなると、x + 1 + 1/(x-1)の中の3つの項のうち、
1/(x - 1)だけは0に収束して消えていってしまいませんか?
そうなると残るのはxと+1の項だけになります。
なのでy = x + 1 + 1/(x-1)は、xがどんどん大きくなると
y = x + 1に近づくと考える事ができます。

y = (2x^2 + 5) / (x + 2)のような形の関数だと、
そのままではこのような考え方ができません。
この場合は割り算をして
y = 2x - 4 + (13/(x + 2))と変形してやると、
同じように考える事ができます。

他にも例えば、y = 2x + 3 + 2^xはx → -∞の時、
y = 2x + 3に漸近します(x → +∞では漸近しません)。
後は「漸近放物線」みたいのも考えられます。
例えばy = x^2 + 2x + (1/x)は、x → +∞とx → -∞の時、
放物線y = x^2 + 2xに漸近します。

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特...続きを読む

Q⑷の別解で、0以上であれば、とありますが、0であればの間違いでは?

⑷の別解で、0以上であれば、とありますが、0であればの間違いでは?

Aベストアンサー

題意である「必要な高さ h の最小値 h0 を求めよ」ということからすれば、

 遠心力≧重力
または
 垂直抗力≧0

という不等式を解くことになります。

 遠心力から求める方の解が、不等式だと分かりにくくなるためか、
  遠心力=重力
から「最低速度:u」をもとめ、これを使ってエネルギー保存の方程式にしているだけです。

 エネルギー保存の式は、本来なら、
  mgh ≧ (1/2)mu^2 + mg*2r
     = (1/2)mgr + mg*2r
     = (5/2)mgr
から
  h ≧ (5/2)r
なので、最低高さは
  h0 = (5/2)r
とするのが一般的でしょう。

 最初から「高さの最小値 h0」を求めに行くか、「必要な高さ h の範囲」を求めて、そこから「最小値 ho」を求めるか、という方法論の違いですので、「0であればの間違いでは?」といった問題ではありません。
 「何を求めようとしているのか」という目的が明確なら、どちらも正しいのです。

Q数IIIグラフ・漸近線に関する質問です。

いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。

例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、
f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。

そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。

解いていた問題の中で、

y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。
理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。
でも、(確実に私の経験不足ですが)いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。

数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。

お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

漸近線の定義に1次関数に限るとは決して書いていません。いかに高校数学といえどもそんなに理不尽ではありません。教科書をよく見なおしてください。

>y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。

その通りです。似たような話がurlに出ています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%B8%E8%BF%91%E7%B7%9A

Q数学で何度やってもパターンを忘れてしまうのがあります。暗記物では、語呂にすればいいのですが数学はどうすれば?

数学で何度やってもパターンを忘れてしまうのがあります。暗記物では、語呂にすればいいのですが数学の場合はどうすればいいですか?

Aベストアンサー

 例題と、それに対する解答例が掲載されている参考書や問題集なら何
でも良いと思います。数研出版のチャート式やオリスタ等でも良いし、
それ以外でも良いです(個人的には、細野式などお奨め出来ない代物も
ありますが、好みや相性の問題もあるため、一概には言いがたいものも
あります)。
 該当する本は山ほどあります。街の大きめの書店で、手に取って確か
めてみて下さい。自分で見てみて「これは良さそうだ」と思った一冊だ
け(→、数学1A なら1A で1冊...等の意味です)を、あとはしっかりと
やるのみです。

 最初は、考え方を理解するために、例題の解答例を“考えながら”
“なぞってみる”のが良いと思います。重要なのは、意味するところを
理解することです。意味を捨象して「暗記」することではありませんの
で、念のため。頭と手を動かして問題と向き合うのがコツです。
 数学において、通常は途中の計算や考え方も含めて全てが答えです。
結論だけが答えではありません。その視点を大切にしていただければと
思います。
 分からないところがあったら、どこが分からないかをハッキリさせた
上で、信頼できる先生などに聞くと良いでしょう。

 例題と、それに対する解答例が掲載されている参考書や問題集なら何
でも良いと思います。数研出版のチャート式やオリスタ等でも良いし、
それ以外でも良いです(個人的には、細野式などお奨め出来ない代物も
ありますが、好みや相性の問題もあるため、一概には言いがたいものも
あります)。
 該当する本は山ほどあります。街の大きめの書店で、手に取って確か
めてみて下さい。自分で見てみて「これは良さそうだ」と思った一冊だ
け(→、数学1A なら1A で1冊...等の意味です)を、あとはしっかりと
...続きを読む

Q漸近線について

「Y=1/x+logxのグラフをかけ」という問題で、グラフの増減表は書くことができるのですが漸近線の求め方がわかりません。回答にはY軸が漸近線だと書いてありlim x→0(1/x+logx)の1/xをtとおき回答してありました。そこで1/xをtと置かずに「lim x→0(1/x+logx)」を解き漸近線がY軸であると導びこうとしたのですがうまくいきません。どう考えればよいか教えてください。また漸近線を求める場合はいろんな場合を計算してみて初めて、どれが漸近線だ、と分かるのですか。それとも問題をみてすぐに分かるものなのでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

lim x→0(1/x+logx)を求めるのは難しいですね。
まずは1/xをくくり出して、
1/x・(1+xlogx)

(1/x)→∞なので、xlogxが何か値に収束すればy軸が漸近線だといえます。

(xlogx)→0なのですが、これを説明するのは難しく、結局、x=1/tとおいて「はさみうちの原理」を使うことになります。

x→0よりもt→∞の方が極限が考えやすいので、このように置き換えるんだな、と思ってください。

Q√2、√3は無理数であるとことを使って、√2+√3も無理数であることを

√2、√3は無理数であるとことを使って、√2+√3も無理数であることを背理法を用いて証明せよ。

どうしても解けません。
宜しければお力を貸してください。

Aベストアンサー

前のお二方が書いておられるように、
√2 + √3 が有理数だと仮定すると
√6 = ((√2 + √3)~2 - 5)/2 も有理数
ということになってしまうことから、
背理法で示すことができます。

では、√6 が無理数であることは
どうやれば示せるかというと…
「√2, √3 が無理数であることを使って」
示すことは、できません。

√2 や √3 が無理数であることを示すのと
同様の手法で証明することになるでしょう。

√6 が有理数だとすれば、
互いに素な自然数 p, q によって
√6 = p/q と表すことができる。
式を変形して、6qq = pp。
左辺が 2 で割りきれることから、
右辺も 2 で割りきれなくてはならず、
p は 2 で割りきれる。
よって、右辺が 4 で割りきれることから、
左辺も 4 で割りきれなくてはならず、
q も 2 で割りきれる。
これは、p, q が互いに素であることに矛盾する。
したがって、背理法により、√6 は無理数。


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