この極限が0になる理由

lim h→0 sin^2h/h(1+cosh)=0

読みにくて、申し訳ありません。さて、これはなぜ0なのでしょうか。分子は1*1=1ですよね。でも分母は0となり1/0となってしまいますよね。考え方に問題があるのだと思いますが、教えてください。よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2007/01/21 10:41

単純に誤解でしょ。

分子が

(sinh)^2

でも

(sinh)^2(1+cosh)

でもh→0でsin0=0ですから分子も0ですね。
ところで

lim[h→0]sinh/h=1

ですから

lim[h→0](sinh)^2/h(1+cosh)=lim[h→0](sinh)*(sinh/h)(1+cosh)=0*1/2=0

ということではないですか？(coshが分子なら0に2をかけて下さい)

No.7 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/21 22:10

sin 0 = 0 ですので不定形になります。

三角関数の入った極限は確か必ず
lim[x→0] (sin x)/x = 1
というのを利用して解いたと思います。
この場合分子が sin^2 h ですので分母にも h^2 が来るように分母分子に h をかけてやります。
1 + cos h はこのように出されると変形が必要そうに見えたりしますが、計算すると 2 ですのでこのままで平気です。
1 - cos h といった形であれば 1 + cos h を分母分子に掛けるなどして (sin h) / h の形に持っていく必要があります。
以上のことから 0/2 = 0 となります。

lim[x→0] (sin x)/x = 1 の証明は自分もよく覚えていないのですが、もしかしたら大学でやるのかもしれません。
調べてみましたら見つけましたので一応のせておきます。

参考URL：http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node96.html

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。理解できました。

お礼日時：2007/01/22 13:19

No.6 回答者： N64 回答日時： 2007/01/21 13:52

分子は、h^2、分母はhで近似でるので、h^2/h =h →0、

ではだめですか？

No.4 回答者： touzokunogokui 回答日時： 2007/01/21 10:34

ANo2を書いたものです。

すみません。まったく、解答になってませんね。
適当なこと書いてすみません。ANo2は無視してください。

No.3 回答者： mac-dows 回答日時： 2007/01/21 10:34

0/0は不定形ですよ。

ド・ロピタルの公式を使っていいなら極限において分母分子ゼロになる不定形だから、(1-cosh) / h＝（分母の微分）／（分子の微分）＝sinh／1＝0/1＝0

使っちゃだめなら式変形を進めれば出るかな。

No.2 回答者： touzokunogokui 回答日時： 2007/01/21 10:29

sin^2h = 1-cos^2h (sin^2h + cos^2h = 1 より)

= (1+cosh)(1-cosh)
sin^2h / h*(1+cosh) = (1+cosh)(1-cosh) / h*(1+cosh)
= (1-cosh) / h

lim h→0 sin^2h/h(1+cosh) = lim h→0 (1-cosh) / h
= 0/0 = 0

じゃないっすかねぇ

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/21 10:27

極限を取る式がよく分からないのですが、

　分子：{sin(h)}^2
　分母：h{1+cos(h)}
なのですか？

それとも、
　分子：{sin(h)}^2×{1+cos(h)}
　分母：h
ですか？