角の二等分線の長さの求め方について。

問題．　a=7, b=5, c=3 の△ABCにおいて、∠Aの二等分線が辺ｂｃと交わる点をDとするとき、cosＡと線分ＡＤの長さを求めよ。

角の二等分線の長さの求め方なのですが、参考書にのっている解き方は、△ＡＢＤ＋△ＡＤＣ＝△ＡＢＣとして、面積を使ってといたり、cosBを求めて、△ＢＡＤで余弦定理を使って解いています。解説も理解できます。

ただ、せっかくcosAを求めていて、∠BADが６０°（角の二等分線より）と分かっているのですから、これを使い、私が立てた式は

(21/8)^2 = (3)^2 + (ad)^2 - 2*3*ad*1/2

書き方がよく分からないので、二乗は^2　掛け算は* で表しています。これは、△ＢＡＤで余弦定理を使ったものです。ad を　x　と置くと

441/64 = 9 + x^2 -3x

となり、xは求まるはずです。で、これを解の公式で解いた結果、15/8　と　9/8　という答えになりました。前者が、本に載っている答えと一致しているのですが、私の解き方で解いた場合、どうやって、後者の答え(9/8)は違うと判断するのでしょうか？

数年ぶりに数学をやることになり、計算ミスや基本的なことが抜け落ちているかもしれませんが、どうぞよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2007/01/26 16:55

No2です。

（補足に対して）
　一般的にはそのようにするかと思います。

　長さ不明の１辺を含めた２辺とはさむ角で計算
　すると、この△ＢＡＤであれば、Ｄの場所が２
　ケ所考えられ、他にも条件が必要になります。
　中学の三角形の合同のところで出てきた、２辺
　と１つの角では、その角がはさむ角ではない場合
　三角形は１つには決まらない、というものですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。分かりやすい説明で、ほんとに助かりました。また、よろしくお願いします。

お礼日時：2007/01/27 10:00

No.4 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/26 19:57

図を書いてみるとわかりますが、もう一つの解は直線AD上にあるBD=BD'となる点D’に対するAD'の長さが出ているのです。

実際余弦定理に使用する値はすべて同じになります。
DとD'のどっちが正しいかの判別についてですが、
∠ADBが鈍角か鋭角かで判別しても良いし、センターみたいに穴埋めであれば図をキレイに書いて勘でというのもありだと思います。
ちょっとご自身で考えてみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。図を書いてみて、はっきり分かりました。二箇所、出来るのですね。私の受けるテストは、マークで、センターテストに似ているので、図をきれいに書いて勘でいくのもありかなと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/27 10:04

No.2 回答者： debut 回答日時： 2007/01/26 11:39

もう１方の△ＡＣＤでも同じことをするか、

図を正確にかいて、ＢからＡＤへ引いた垂線の足が
線分ＡＤ内にあれば大きい方、ＡＤの延長上にあれば
小さい方と判断するか・・
だと思います。

この回答への補足

早速の回答、ありがとうございました。△ＡＣＤで同じことやってみました。15/8が出てきました。出てきますが、これって結構、計算が大変ですね。私のやり方でやると、△ＡＣＤでも同じことをやらなければならず面倒なので、一般には、cosB　を使う方法や、三角形の面積を使う方法で解くのでしょうか？

補足日時：2007/01/26 14:41

No.1 回答者： rtz 回答日時： 2007/01/26 11:24

△BADについて、ABの長さと∠BADとBDの長さだけだと、

∠ABDが鋭角のときと鈍角のときの2種類三角形ができるのでそれだと思いますが。

あと角の2等分線については
AB・AC＝AD^2＋BC・BDというのもあります。

この回答へのお礼

早速の回答、ありがとうございました。なるほど、鋭角の時と鈍角の時で確かに二つできますね。公式まで教えていただき、ありがとうございます。試してみます。

お礼日時：2007/01/26 14:39