広義積分について習っていない者なのですが、
次のような課題が出たので
できれば詳しく説明していただけたらうれしいです。
よろしくお願いします。
∞ -x^2
(1) ∫ e dx = √π を証明せよ。
-∞
(補足:eは(-xの二乗)乗です。πはルートの中に入っています。)
*******************************
1 ∞ -{(x-μ)^2}/(2σ^2)
(2) ――――― ∫ e dx = 1 を証明せよ。
√2π・σ -∞
(補足:2πは√の中に入っていて、σは√の外に出ています。eは-{(x-μ)の二乗/2σの二乗}乗です。)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
微積演習の問題集かなにかを、大学生協あたりで購入されてはいかがでしょうか?
(1)
I = ∫{-∞~+∞} e^(-x^2) dx とおく。
I^2 = (∫{-∞~+∞} e^(-x^2) dx) * (∫{-∞~+∞} e^(-y^2) dy)
= ∬{[-∞~+∞]×[-∞~+∞]} e^(-(x^2+y^2)) dxdy
ここで、極座標変換する。あとはただの計算だけ。
ただし、もしかして極座標変換を知らなかったら辛いでしょうから・・・
x=rcosθ, y=rsinθ とおけば、ヤコビアンとって、dxdy = rdrdθ
(x,y)∈R^2 → (r,θ) ∈ [0,∞)×[0,2π)
最後にルートをとりますが、もちろんe^(-x^2)>0 for all x より、I>0 であることは明らか。
(2) 正規分布の全確率は1だから・・・じゃなくて、その事実を式計算する問題なのですね。
(x-μ)/(√2) σ = y とおけば、dx = (√2) σdy で、あとはちょうど(1)の形が出てきません?
(1)は大学1・2回生程度の計算で、知らなかったらできないかもしれませんが、少なくとも(1)が与えられていたときの(2)は高校生レベルと思うのですが・・・。
さっそくのお返事本当にありがとうございます。
(1)については初めて見た式だったので、
どのように手をつけていいのかわかりませんでした。
kony0さんの答えを参考にさっそくやってみたいと思います。
本当にありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
(1) kony0 さんの示された方法が一般的ですが,別解として
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191061
の私の回答の方法もあります.
(2) は kony0 さんのおっしゃるとおり,変数変換で(1)に帰着できます.
お返事をくださって、本当にうれしいです。
さっそくhttp://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191061のほうを
見させていただきました。
また、http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532も
参考にさせていただこうと思います。
これからも分からない事が多いと思いますので、よろしくお願いします。
本当にありがとうございました。
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