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以下のような問題がありました。

質量mの自動車が、角度βの斜面を、Rの抵抗力を受けながら、Vメートル/sの一様な速さで登っているとき、自動車の仕事率P(J/S)はいくらか?

なんとか解けました。 Fは F=mg・sinβ+R となり
P=F・v=(mg・sinβ+R)v  となります。

ここで質問です。このFは、静止摩擦力で、限界の時は最大摩擦力で
F=μmgcosβ だと思います。

今、仮に、等速ではなく、ある一定の加速度で斜面を登っていたら、
ma=F-mg・sinβ-R となり推進力は
F=mg・sinβ+R+ma となると思います。

さらに、仮に、斜面ではなく、平地で、かつ等速で、かつ抵抗が無い(この抵抗は、空気とかタイヤの変形その他考えられると思いますが、そういったのを考えない場合です)場合を想定すると、上の方程式は
F=0
になります。これが疑問なんですよ。
疑問その1
 Fは存在すると思います。タイヤが地面を後ろに押し、その反作用として地面からタイヤが前に押される。タイヤと地面との静止摩擦力だと思います。しかしF=0は何故?

疑問その2
 その1で述べたように、この仮定の状態では、静止摩擦力だけが、進行方向に働いていると思います。しかしこの仮定では等速なので、ニュートンの第1法則に照らし合せると、矛盾しませんか?(力が働いていてかつ釣り合っていないのに、等速で走っている。)

適切なアドバイスお願いします。(R=0を考えるのはタブーなのでしょうか?)

A 回答 (4件)

摩擦がないと車は動き出せません。

従って、自動車と地面の間には動き出すのに必要な分の摩擦(を生じさせる条件)は確保されているはずです。(動き出すためには地面を押す必要があるため) 雪の地面でなかなか発車できないことはよく経験されます。
しかしこのことがすでに動いている車にも当てはまる(つまり車が動き続けるために摩擦が必要)と考えることはできません。すでに動いている車がさらに等速で動き続けるためには車体の並進に対しても、車輪の回転に対しても外力が作用しない(外力の合力がゼロ)ことが条件です。摩擦などの外力が作用しては自動車は減速する以外ありません。また、自動車を加速するような摩擦はあり得ません。
ただし、車輪に偶力(偶力なので前進させる力ではない!回転させる力である!)を作用させ、摩擦を利用すると加速ができるということです。前進させる力として、前進させる力のない偶力と前進方向の摩擦力をうまく組み合わせて利用すると言う点が重要です。

摩擦の基本的な性質は
(1)接点(面)での両面にずれようとする力が作用しないと摩擦は生じない
 単に接しているだけでは摩擦力は生じません。
 ずれ運動をしているとき、あるいはずらそうと力を加えているときに摩擦力は生じます。
(2)ある一定の限界の力(最大摩擦力)以上の力が作用するまでは作用した力を打ち消す分だけの力が発生し、これを超えた力が作用する場合にはその限界の力が保持される
ということだと思いますがこの基本に基づいて自動車の運動について考えて見ます。

車輪の回転速度をω、並進の進行速度をvとします。また、車輪の半径をrとします。
車輪が回転だけしているとすると車輪の外周の1点は最下点に来たとき水平方向にr・ωで後ろ向きの速度を持っています。従って、同時にvの並進速度で進行していた場合は合わせてv-r・ωの速度で前向きの速度を持っていることになります。自動車が地面の上を速度vで走っていたとすると、車輪の最下点の接点で地面に対してv-r・ωの相対速度でずれていることになるので、摩擦が生じ車輪に対して後ろ向きの摩擦力が作用することになります。ただし、符号を考慮していますので、これが負の値であれば逆に摩擦は前向きに作用することになります。それでは、v-r・ωがゼロの場合はどうなるか?相対速度がないのでゼロ(摩擦なし)となるか?
単純に考えるとゼロになりますが、基本性質(2)を考慮すると、必ずしも摩擦力ゼロとは言い切れません。(2)では摩擦力は限界までは作用する力を打ち消すように働くということなので、外力が作用した状態でそれを打ち消すように摩擦力が作用してずれ速度が生じるのを抑えるということが考えられるからです。つまり、地面と車輪の相対速度(がないこと)だけを見たのでは摩擦力の作用の存在の有無を議論することはできないのです。これは回転の問題に限らず、平面上でものを回転なしに引きずる場合と同じことです。地面の上に置いてある重い箱が動いていない(地面との相対速度がない)からと言って単純にその箱と地面との間には摩擦力が働いていないとは結論できないでしょう。箱が動いていないとは言え、押した分だけは摩擦力が作用しているのであり、それ故にこそ、箱は動かずにいるわけです。
そこで自動車の場合に戻りますが、相対速度がない場合で、摩擦が作用するかしないかは作用している力を見ればよいのです。アクセルを踏むことにより、自動車の車輪にはエンジンから偶力を伝えることができます。このモーメントをMとします。また、限界の摩擦力をF0(例えばF0=mgμ)とします。するとM>r・F0の場合はモーメントが摩擦力に打ち勝って地面との相対的な速度が生じてしまいます。この場合は明らかに摩擦力が生じていることになり、この値は限界の値になっています。M<=r・F0の場合は摩擦力は基本(2)に従ってF=M/r(F<=F0)となります。つまりアクセルをふかしてMを上げて行くとそれに応じ摩擦力Fも大きくなり、限界F0まで摩擦力Fの上昇が続くということです。
この間、回転速度は「取り敢えず」は摩擦に打ち消されて上昇しないことになります。
そこで、並進方向の速度についてですが、車輪は摩擦により前向きの力を受けることになるので当然加速度を与えられます。従って車輪の前進速度は上昇することになります。すると、車輪と地面との間では摩擦力により相対的なすべりが起こらないことが保証されていますから、車輪の前進によって(前進速度の上昇によって)当然回転速度も上昇しなければなりません。どうなるか? 先に「取り敢えず」としたのはそう言う事情があります。実は解決方法が考えられます。摩擦力を小さくしてM-r・F>0として回転を許してやればよい(回転加速度を許す)わけです。するとFが小さくなった分前進する加速度も減少することになります。Fを小さくする度合いが不足すると回転速度の上昇分が不足して最初の状況は解消できません。そこで、摩擦力をさらに小さくし、最終的には
●[すべりが生じないと言う条件での並進運動に起因する回転加速度]と
●[エンジンから与えられるモーメント]から[摩擦力によるモーメント]を差し引いた回転方向の外力による回転加速度
がバランスするようになるまで減少することになり最終的な摩擦力が決まります。
このような摩擦力が作用する状況ではすべりが起こらず、並進と回転がうまくマッチしているわけです。また、摩擦力に関しては、求まった摩擦力は限界摩擦力以下のものからさらに低減させたものになっていますので、当然限界摩擦力以下になっていることが保証されています。

M=0の場合は明らかに摩擦力は作用しません。
この場合はv-r・ω=0なわけですが、もしこのような条件を満たさない状態で走っていたとすると、接点で地面と車輪との間に相対的な速度差が生じて摩擦力が生じこの摩擦力は現時点で生じている相対速度を相殺するように作用し、最終的にはv-r・ω=0に落ち着いて、以後回転速度も並進速度も変化せず自動車は等速で安定して走り続けるというわけです。
ただし、その他の抗力が無視できない場合にこれを打ち消して等速で走るためにはやはりアクセルを踏んで車輪にモーメントを働かせる必要があります。この抗力を打ち消す力はもちろん前方方向の摩擦力から上の議論と同様に得られます。

※上で「M=0の場合は明らかに摩擦力は作用しません」と言いましたが、ここで言う摩擦力とは質問者の考えているような駆動力となる摩擦のことです。逆に自動車を減速させるような摩擦はM=0であろうとなかろうと存在します。このような例として車輪の軸の回転に対する抵抗やころがり摩擦が挙げられます。しかし本質門の趣旨から、これらの摩擦力はその他の抗力の部類に入れてよいのではないかと思います。
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摩擦力に対しては誤解が多いですね。



摩擦力がなければ転がりません。滑るだけです。
転がりに滑りが伴っていなければ静止摩擦力が働いています。実際の転がりでは滑りが伴っている場合があります。その場合は運動摩擦が働いています。
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>疑問その1


 Fは存在すると思います。タイヤが地面を後ろに押し、その反作用として地面からタイヤが前に押される。タイヤと地面との静止摩擦力だと思います。しかしF=0は何故?

Fは存在しないです。
タイヤが地面を後ろに押さないです。
その反作用として地面からタイヤが前に押されないです。
単にタイヤが地面を転がるだけです。

例えば、電車などで、駆動輪でない車輪はかなりそのような状態です。
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第一法則を使おうとしているのはいいのですが摩擦力に対する考え方で混乱しています。


平地で、等速で、抵抗がないとするとF=0は当然です。このFは推進力です。静止摩擦力ではありません。

初めに出てきたF=mgsinβ+Rも静止摩擦力ではありません。
静止摩擦力は運動の抵抗力ではありません。P=FVで仕事を求めていますが静止摩擦力は仕事をしません。もし動いていて摩擦があるとしたら運動摩擦です。タイヤと地面の間に静止摩擦力が働いているのは確かです。でもこれは抵抗力ではありません。タイヤが滑らないという条件を作っているのです。抵抗力としての摩擦は何処で働いているでしょうか。自動車の運動で相対的なずれの生じているところです。回転部分すべてでです。車輪の回転では地面との間での滑りが無くてもシャフトとの間で摩擦が生じます。エンジンの回転では抵抗力としての働きがあります。貴方の書いているタイヤの変形も摩擦の一種としてつっこみになります。エンジンブレーキという言葉を聞いたことはありませんか。車がある速さで走っているとします。絶えずアクセルを踏んで燃料を送らないと駄目です。燃料を送るのを止めるとどうなるでしょう。自然に止まるでしょう。この時の減速の原因となっている力が抵抗力です。これは空気抵抗のためではありません。もっと大きい力です。
貴方がやられたようにこういう「抵抗がないものとする」という仮定を置くと転がっているビー玉と同じ事になってしまいます。推進力は必要なくなります。
物体を斜面に沿って落下させるとします。滑らせるとエネルギーのロスが必ずあります。転がすとほとんどエネルギーのロスがありません。ただ高校では回転体の運動を扱いませんので何時も摩擦はないものとするとして滑らせて計算しています。でも実は摩擦があって、「滑らずに転がる」という条件が実現しているときの方がエネルギー保存が上手く成り立つのです。滑れば運動摩擦でエネルギーをロスします。
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