重力による位置エネルギー

ある物体(質量ｍ）を手のひらにおいて高さ０から１ｍに加速度なしで移動したとき、
物体がされる仕事は、上向きを正と考えて、

手が物体にした仕事　Ｗ＝Ｆｄ＝ｍｇ*１（ジュール）

となり、物体がされた仕事はｍｇ*１（ジュール）となるみたいですが、

実際は重力も物体にはたらいているので

重力がぶったいにした仕事　Ｗ＝-Ｆｄ＝-ｍｇ*１（ジュール）

となり、物体がされた正味の仕事は　ｍｇ*１－ｍｇ*１＝０

となって、物体がされた正味の仕事が０なら、物体は重力による位置エネルギー（＝ｍｇ*１）をもっているということにに矛盾すると、
ふと、考えてしまいました・・・。　

この場合正味の仕事に「重力がぶったいにした仕事」は入ってない
とかんがえるのでしょうか？

No.1 回答者： stripe 回答日時： 2007/03/01 03:57

実際には加速度が０である（もしくは限りなく小さくて無視できる）ようにゆっくりと持ち上げていくわけで、そのとき物体には

Ｆ＝ｍｇ＋Δ（ｘ）
と書けるような力を加えます。
Δ（ｘ）が大きかったら加速度が０とはいえないので、小さい量としましょう。
なので

＞手が物体にした仕事　Ｗ＝Ｆｄ＝ｍｇ*１（ジュール）

を↑のＦにおきかえなきゃいけません。
直感的にはこれでわかります。

数式を使ってみると
Ｗ＝　ｍｇ＊１＋∫Δ（ｘ）ｄｘ
ただし積分の範囲は０から１まで。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

なるほど、手の加速度がもしあると考えたら
Ｗ＝　ｍｇ＊１＋∫Δ（ｘ）ｄｘ
のような式になるのですね。
参考になりました。

お礼日時：2007/03/01 16:00

No.2 回答者： akitaken 回答日時： 2007/03/01 05:46

エネルギー保存則においては外力がした仕事だけを考えたような気がします。

重力や引力は保存力なのでこの場合考えなくてもいいのかな？

あやふやですいません。。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

やはり、「手が物体にした仕事」か「重力がぶったいにした仕事」の和が位置エネルギーになると考えるの間違えなんですね。

貴重な意見ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/01 16:11

No.3 回答者： Damena 回答日時： 2007/03/01 10:29

すべての外力の合力のする仕事を考えると、たしかにゼロになります。

なぜなら、物体は、加速度０で運動するため、外力はつりあっているとみなせるからです。

（物体に働く合力のする仕事）＝ 0 × 1 ＝ 0

これはそれぞれの仕事を求め、それの和をとることによっても求まります。
（手が物体にする仕事）＝ mg × h ＝ mgh
（地球が物体にする仕事）＝ -mg × h ＝ -mgh
∴（物体に働く合力のする仕事）
＝（手が物体にする仕事）＋（地球が物体にする仕事）＝ mgh + (-mgh) ＝ 0

これは、何の間違いもありません。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

物体がされた正味の仕事は０になるんですね。
証明していただきありがとうございます。

ということは、
物体がされた正味の仕事が
物体の位置エネルギーに変わるという考えは
間違ってるということもわかりました。

もう少しで理解できそうです、
貴重な意見ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/01 16:19

No.4 回答者： jamf0421 回答日時： 2007/03/01 10:31

当該物体にmgという力に逆らって、手であなたが系にエネルギーを加えているのです。

mgという力でHあげればmgHのエネルギーが系に加わります。
手を離せば物体は落下します。（現実にはありえないですが）空気抵抗もなく、熱にもエネルギーが散逸しなければその物体は、mgH=(1/2)mV^2の速度でもとの高さの床に至り、バウンドし、元の高さまでもどるでしょう。
それが繰り返される時、mgh+(1/2)mv^2=定エネルギー（mgH=(1/2)mV^2)になりますが、そのエネルギーはあなたが系に加えたものです。

この回答へのお礼

＞＞当該物体にmgという力に逆らって、手であなたが系にエネルギーを加えているのです。mgという力でHあげればmgHのエネルギーが系に加わります

ということは、私の問題の場合

手が物体にした仕事　が　物体の位置エネルギー　
に変わったとなるのですね！

貴重な意見ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/01 16:25

No.5 ベストアンサー 回答者： Damena 回答日時： 2007/03/01 10:47

#.3の回答は、よろしいでしょうか。

では、次のような問題をごらんください。

(1)手が物体に働く重力mg[N]に逆らってh[m]動かしたときの仕事。
(2)手が物体に働く動摩擦力f[N]に逆らってしたs[m]動かしたときの仕事。

さて、(1)の仕事は mgh[J] ですね。この状態で、手を離すことを考えて見ましょう。物体は落下しますよね。これに糸と滑車などの装置をつければ、この物体は、他の物体に再び、mgh[J]の仕事をすることが、可能です。つまり、“重力に逆らってした mgh[J] の仕事”は再利用可能なのです。この重力のように、これに逆らって仕事をすると、後から同じだけの力学的な仕事が得られるような、力を「保存力」と呼びます。この量は、位置によって決まるので「位置エネルギー」と呼びます。ちなみに、この「位置エネルギー」と「重力が物体にした仕事」の符号が逆で、絶対値が等しくなることは、数学的に明らかですよね。
式で書くと以下のようになります。
（位置エネルギー）＝－（重力が物体にした仕事）

次に(2)の仕事について考えて見ましょう。計算すると fs[J] ですよね。さて(1)と同様にこの状態で、手を離してみることを考えましょう。
当然ながら、動くことはありません。つまり、手は、仕事をするだけ損をするわけです。この摩擦力のように逆らっても意味のない力を「非保存力」といいます。ちなみに、この仕事は、熱エネルギーに変換されています。実際に「増加した熱エネルギー」を測定すると
（増加した熱エネルギー）＝－（摩擦力が物体にした仕事）
となることがわかっています。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます！
ここまでの意見をまとめると、私の問題の場合の位置エネルギーとは、

（物体が得た位置エネルギー）
＝－（重力が物体にした仕事）
＝+（手が重力に逆らって物体にした仕事）となる。

そして、（物体がされた正味の仕事）　
＝（重力が物体にした仕事）+（手が重力に逆らって物体にした仕事）＝０
が位置エネルギーになると考えることは間違っている。

となるのですね！　

さらに、重力が保存力であるから、「－（重力が物体にした仕事）」がそのまま、物体の位置エネルギーになる。
そして、摩擦力のような非保存力が物体に仕事をしても、その仕事は、
熱エネルギーに変わってしまい、物体にエネルギーを持たせることができない。

ということですね。
ようやく理解できました、本当にありがとうございます。

（もしまだ間違っているようであれば補足をお願いします）

お礼日時：2007/03/01 16:47