2次方程式
x^2 + 2(2m - 1)x + (5m^2 - 4) = 0
が正と負の解を1つずつ持つときのmの範囲を求めよ。
という問題に取り組んでいます。左辺を解の公式で無理やり解いて、その一方を負、他方を正とすると
x_1 = 1 - 2m + √(5 - 4m - m^2) > 0
x_2 = 1 - 2m - √(5 - 4m - m^2) < 0
と成りますから、これを
2m - 1 < √(5 - 4m - m^2) ・・・(1)
と変形して両辺を2乗し、得られる2次不等式
0 > 5m^2 - 4 ・・・(2)
を解くことで
|m| < 2√(5) / 5
と答えを得ることができました。そこで質問なのですが(1)式の両辺を2乗する際に、
|2m - 1| > √(5 - 4m - m^2) ・・・(3)
ということが言えてなければ(2)式の不等号は逆転してしまいますよね?エクセルでグラフを描いてみて、答えの範囲では(3)が成り立っていますが、無理数の部分が定義できる[-5,1]で常に(3)が成り立っているわけではないと分かりました。エクセルのグラフで確認できたのだからそれで済まそうかと思ったのですが、やはり答えの範囲では(3)式が成り立つことを数式を用いて証明したいのです。どのような方針で証明すればよいのか、ぜひご教授お願いします<m(_ _)m>
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
|2m - 1| も√(5 - 4m - m^2)も正なので、最初から両方2乗して
大小比較すればよいのでは。
ただし、ルートの中が正であるという条件-5≦m≦1にmを限定した
上で。
|2m - 1| ^2-{√(5 - 4m - m^2)}^2
=4m^2 - 4m +1 -(5 - 4m - m^2)
=5m^2 - 4
これが0以上になるのは、m≦-2/√5、m≧2/√5
-5≦m≦1という条件があるので、-5≦m≦-2/√5、2/√5≦m≦1
また負になるのは、-2/√5≦m≦2/√5でこれは-5≦m≦1内にある。
以上から、
-5≦m≦-2/√5、2/√5≦m≦1のとき、|2m - 1|≧√(5 - 4m - m^2)
-2/√5≦m≦2/√5のとき、|2m - 1|<√(5 - 4m - m^2)
正の数どうしの大小比較では何乗かしたり、対数を取ったりして
比較しやすいようにするのがよくやるやり方です。
(上の計算は合ってるか一応ご確認を)
>最初から両方2乗して大小比較すればよいのでは。
あぁ!不等式なんて習ったのはすっかり昔のことだったのですっかり忘れていました!
(3)式が成立する範囲と、答えは一致しているのですね。高校生の問題集だったので、2乗して不等号が逆転することまでは考えなくても良いように問題が作ってあるのでしょうか。はたまた、(3)式と答えは同値なのでしょうか。
お蔭様で無事解決いたしました。
有難うございました<m(_ _)m>
No.2
- 回答日時:
面倒ですが、場合分けすればよいとおもいます。
ただ、この問題の場合だと、
y=f(x)=x^2 + 2(2m - 1)x + (5m^2 - 4)
のグラフを考えると、2次の係数が正なので下に凸の2次関数のグラフです。従って、f(0)<0であればよいことになり、(2)式が求まります。
>f(0)<0であればよいことになり
なるほど。そのアプローチのほうがスマートに解くことができますね!
化学計算では複雑な数学はほとんど出てこなかったのですっかり感覚が鈍ってしまったようです。
ご回答有難うございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数3 関数の極限 どういう問題の...
-
積分の面積を求める問題で 上−...
-
(x-y)(x+y-2)>0 不等式の表す...
-
4乗のグラフ
-
「グラフの概形を描け」と「グ...
-
タンジェントとアークタンジェ...
-
ゴンペルツ曲線の式
-
一次関数と二次関数の違いって...
-
数学
-
スーパー楕円形の作図の仕方
-
関数のグラフでy'''はなにを意...
-
グラフの類似度について
-
関数のy切片について質問です
-
関数、y=0 などのグラフの...
-
数学の質問です。分数関数の分...
-
フーリエ変換した時のノイズの...
-
増減表について
-
「2次不等式2x²+3x+m+1<0を満た...
-
X軸と一点のみを共有するような...
-
NTTのロゴマーク
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
関数のグラフでy'''はなにを意...
-
積分の面積を求める問題で 上−...
-
4乗のグラフ
-
数3 関数の極限 どういう問題の...
-
「グラフの概形を描け」と「グ...
-
タンジェントとアークタンジェ...
-
数学の質問です。分数関数の分...
-
対数のグラフでL=70-20logrの...
-
【 数Ⅰ 2次関数 】 問題 関数y=...
-
増減表について
-
「2次不等式2x²+3x+m+1<0を満た...
-
数学
-
10の1.2乗が、なぜ16になるのか...
-
三角関数 y=cos3θのグラフの書...
-
以下の問題で回答に含むべきか...
-
関数、y=0 などのグラフの...
-
問題は「不等式ax²+y²+az²-xy-y...
-
極値と変曲点を同時に持つ点あ...
-
ゴンペルツ曲線の式
-
2点集中荷重片持ち梁について
おすすめ情報