2線の交点を座標値で求める式で、0での除算が発生しない方法を教えて下さい。

座標
線a ax1 = 0 , ay1 = 0 : ax2 = 12 , ay2 = 13
線b bx1 = 6 , by1 = 15: bx2 = 6 , by2 = 2

A=(y13-y0)/(x12-x0)
B=(y2-y15)/(x6-x6) 0で除算が発生

X=(A*x0-y0-B*x2+y15)/(A-B)
Y={A*y15-B*Y0+AB*(x0-x2)}/(A-B)

片方の線が垂直だと0で除算が発生してしまいます。

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外積 意味」に関するQ&A: 内積、外積の意味

A 回答 (3件)

d = (ax1-ax2)(by2-by1)-(bx1-bx2)(ay2-ay1)


x = {(bx1by2-bx2by1)(ax1-ax2)-(ax1ay2-ax2ay1)(bx1-bx2)}/d
y = {(ax1ay2-ax2ay1)(by2-by1)-(bx1by2-bx2by1)(ay2-ay1)}/d
です。

●準備:交点を求めようと言うのですから、
(1)「(ax1,ay1),(ax2,ay2) が(点ではなく)直線であり、(bx1,by1),(bx2,by2) が直線である」つまり
(ax1 ≠ ax2 または ay1 ≠a y2)でありしかも(bx1 ≠ bx2 または by1 ≠b y2)
でなくては話にならない。さらにまた、
(2) これら2本の線が平行であっても意味がありません。

以上の条件(1)(2)は、実はベクトル<(ax1-ax2),(ay2-ay1)>と<(bx1-bx2),(by2-by1)>との外積dが0ではない、ということ、言い換えれば
d = (ax1-ax2)(by2-by1)-(bx1-bx2)(ay2-ay1)
が0でない、という事と等価です。

●次に、2本の直線の方程式は
(ay2-ay1) x + (ax1-ax2) y = (ax1ay2-ax2ay1)
(by2-by1) x + (bx1-bx2) y = (bx1by2-bx2by1)
と書くことが出来ます。これを解くと
x = {(bx1by2-bx2by1)(ax1-ax2)-(ax1ay2-ax2ay1)(bx1-bx2)}/d
y = {(ax1ay2-ax2ay1)(by2-by1)-(bx1by2-bx2by1)(ay2-ay1)}/d
です。(1)(2)の条件さえ満たしていれば、必ずd ≠0ですから、0によるわり算は生じません。

●なお、以上は行列を使った計算(線形代数)の基本を普通の数式に書き直したものです。もしかしたらCG用のプログラムを自作していらっしゃるのかな?線形代数を学んでおくととても便利ですよ。
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この回答へのお礼

毎度お世話様です。

実に解かり易い回答有り難うございます。
現在、CADを組んでおりまして条件処理を行えばなんとかなるのですが
デバックの際ややこしくなって困っていました。

将来は、CGの方にも進むつもりです。
線形代数ですか、今度調べてみます。

又、質問しますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/17 20:42

 lible_ioさん、前回の続きですか?


 解決方法は簡単、簡単。傾きを求める前に、線a、線bにおいてx座標をチェックするだけです。ちなみに、もし等しければ求める交点のx座標はその値で決まりです。例えば、次のようにすればいかがですか?

 if (ax1==ay1)
 {
  if (bx1==bx2)
  {
   交点なしの処理
  }
  else
  {
   X=ax1
   Yを求める処理
  }
 }
 else
 {
  if (bx1==bx2)
  {
   X=bx1
   Yを求める処理
  }
  else
  {
   Aを求める処理
   Bを求める処理
   if (A==B)
   {
    交点なしの処理
   }
   else
   {
    通常の方法でX,Yを求める処理
   }
  }
 }

 見落としがあるかもしれません。ご自分でも、よく考えてみてくださいね。
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この回答へのお礼

毎度お世話様です。

条件分岐で処理をして見たのですが、式の中で線角度が必ず必要になるため
計算結果が正しく出ない事があり、デバックもややこしいため別の式がないか
質問してみました。

stomachmanの回答でOKのようです。
又、お願いします。

お礼日時:2001/01/17 20:43

これは、直線の式を


 y=ax+b
としてそれぞれの傾きaを求めているのですね。
この y=ax+b という式が、すでにx軸に垂直な直線に対応していません。
(yの係数を0にすることが出来ませんね。)
より一般的には、まず最初に
 ax+by+c=0
で平面上での直線をあらわしておきましょう。

質問の数値を用いて具体的に計算してみます。
 直線A:ax+by+c=0
 直線B:a'x+b'y+c'=0
として、数値を代入すると
直線Aに対して
 c=0       …(1)
 12a+13b+c=0   …(2)
という連立方程式を得ます。
また、直線Bに対して
 6a'+2b'+c'=0  …(3)
 6a'+15b'+c'=0  …(4)
という連立方程式を得ます。
それぞれ文字数3に対して式が2つしかないので a,b,c 等の値は
1つには決まりませんが比を求めることが出来ます。
最も簡単な整数比を用いると
式(1)、(2)から
 a:b:c=13:-12:0
式(3)、(4)から
 a':b':c'=1:0:-6
となります。つまり、
 直線A:13x-12y=0
 直線B:x-6=0
となります。
よって、交点は (x,y)=(6,13/2) と求まります。
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この回答へのお礼

回答有り難うございました。
解かり易い回答なのですが、プログラムの中でそのまま使える式を
期待していました。

怠け者で、すみません。
又、質問しますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/17 20:44

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[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q材料力学(数学)の問題です。 0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-a

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0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-ax+3abである関数のグラフを描け。a、bは正の定数とする。
この問題の解き方を教えて下さい。わかりやすく解説してくだされば有難いです。

Aベストアンサー

0<x<bでy=ax
これは単なる比例です。aが正の定数なので、0を通る右上がりの直線ですね。

b<x<2bでy=ab
a,bが定数なので、abも定数です。
x=bの時「y=ax」=「y=ab」であるので、
y=axのx=bにおけるyから横一直線ですね。

2b<x<3bでy=-ax+3ab
これは最初の比例のグラフと傾きが正負逆になっていますね。
x=2bの時y=-2ab+3ab=ab、
x=3bの時y=-3ab+3ab=0
となる右下がりの直線ですね。

x=0,b,2b,3bは範囲外となります。
グラフを描く時に境界部分で○とするか●とするか間違わないように。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
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どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
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なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Qx*y=log(e^x+e^y)と定義すると、(x*y)+z=(x+z)*(y+z)

x、y∈Rに対して
x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。

Qy=-a(a+b)t+b*exp(-(a+b)t) (a>0,b>0)

y=-a(a+b)t+b*exp(-(a+b)t) (a>0,b>0)

yがある値をとる時のt(t>0)を算出したいのですが、
上記の式をt=・・・の式にすることはできるでしょうか?
実際にtを算出する時にはa,bに数値を当てはめて計算を行うのですが、
a,bの値を変えた場合のtも求めたいので、文字係数のままで式を変換したいのです。

どなたか解る方がいらっしゃいましたら、解答お願いいたします。


補足
上記の式は以下の式と単純化したものです。
もしできるならば、こちらの式でt=・・・にしていただけると助かります。

d-(c*b^2)/(a+b)^2-abct/(a+b)+((c*b^2)/(a+b)^2)*exp(-(a+b)t)=0
(a>0,b>0,c>0,d>0)

-a(a+b)t+b*exp(-(a+b)t)=b-(d*(a+b)^2)/bc
b-(d*(a+b)^2)/bc=y と置いて単純化しています。

計算ミス等ありましたらご指摘下さい。

Aベストアンサー

老婆心ながらシミュレーションなら、近似値ということでこういう方法で簡単に計算できますよ^w^
まぁ、方程式が超幾何方程式なので解は結局電卓をたたくしかないので近似値というとこに気を使う必要はないでしょう。


元の式が

s = y-a*t
s = b*exp(-ct)

という連立方程式にyを代入したうえでの解になることは述べました。ここで少し変数をいじって

s1(t) = y-a*t
s2(t) = b*exp(-ct)

と置きます。

s1(t)-s2(t)

を縦軸に、横軸をtとして絵画します。そのときt軸と曲線が交わるところが解です。
当たり前っちゃその通りですがw

グラフを書かないシミュレーション的な方法としては、t=n×Tという書き方に変えて、nがステップ、Tがステップ幅とみて
(s1(n×T)-s2(n×T))×(s1((n-1)×T)-s2((n-1)×T))<0
となるnを探し出すという手法でそのnをtに戻して導くという方法がシンプルでいいでしょう。


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