複素数z、角θが次の場合に、点zを原点の周りにθだけ回転した点を表す複素数を求めよ。
z=1+3i,θ=π/3
答えは (1-3√3)/2+(3+√3)i/2
と書かれているだけでなぜそうなったのかが解りません。
一応自分で考えた解き方は、
複素数平面上[原点をo]にx軸を底辺[頂点をa]、zの示す(1,3)を斜辺[頂点をb]とする直角三角形oabとそれをπ/3だけ原点のまわりに回転させた図形oa'b'を書き、b'(x,y)としたとき、∠a'oa=π/3であることから、xとyについての連立方程式を立ててそれを解く。
というものなのですが、
もっと簡単かつスマートな解き方があるといわれたために、
数学的な問題について知識をお持ちである、または以前にこのような問題を解いたことがあるという方、数学を学び始めたばかりの自分にも理解できるような解説をしていただけませんか。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
オイラーの公式 (θでの回転):cosθ + isinθ
z * (cosθ + isinθ)でzを角度θで回転できます。
z * (cosθ + isinθ)
=(1 + 3i){cos(π/3) + isin(π/3)}
=(1 + 3i){1/2 + i(√3/2)}
あとはこれを普通にかけ算して計算して回答が得られます。
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