シグマの式変形（難しいです）

1/√n*Σ(k=n+1→2n)*1/√k　　　　　この式は

1/n*Σ(k=1→n)*1/{1+k/n}と変形できるそうです。

何ででしょうか。なぜ掛け算が絡んできるのかが分かりません。引き算なら分からない気がしなくもありません。

教えて下さい。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： F_P_E 回答日時： 2007/05/19 19:32

こんばんわ。

1/√n*Σ(k=n+1→2n)*1/√k
= (1/√n)*{1/√(n+1) + 1/√(n+2) + … + 1/√(n+n)}
= (1/√n)*Σ(k=1→n){1/√(n+k)}

となりますよね。あとはΣの中から(1/√n)を共通因数としてくくり出せば、良いのでは？

がんばってください。

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/19 20:44

区分求積（法）です。

何故か、極限値記号ｌimが書いてありません。
ｌimは使わずに、→だけで済ませます。

S(n)=1/√n*Σ(k=n+1→2n)*1/√k
=(1/√n)【(1/√n+1)+(1/√n+2)+・・・+(1/√n+n)】
=(√n/n)【(1/√n+1)+(1/√n+2)+・・・+(1/√n+n)】
=(1/n)【(√n/√n+1)+(√n/√n+2)+・・・+(√n/√n+n)】
=(1/n)【(1/√(1+(1/n)))+(1/√(1+(2/n)))+・・・+(1/√1+n/n)】

n→のとき、S(n)→Sと表記します。

Ｓ＝∫［０、１］（１/√（１＋ｘ））ｄｘ
または、
Ｓ＝∫［１、２］（１/√ｘ）ｄｘ
どちらでも良いです。
上だけします。

Ｓ＝２√（１＋ｘ）［０、１］
　＝（２√２）ー２
となります。

No.3 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/20 01:41

＃２です。

誤読でした。
ただちょっと不思議な誤読でした。

Ｓ(n)=(1/√n)*Σ(k=n+1→2n)*1/√k
=(1/√n)【(1/√n+1)+(1/√n+2)+・・・+(1/√n+n)】

この式は、
ｎが固定されていてＫが１からｎまで変化しているとも取れます。
即、
Ｓ(n)=(1/√n)*Σ(k=1→n)*1/√(n+k)
=(√n/n)*Σ(k=1→n)*1/√(n+k)
=(1/n)*Σ(k=1→n)*√n/√(n+k)
=(1/n)*Σ(k=1→n)*1/√(1+(k/n))
一応ここまでで回答にはなっていますが、
ーーー
=(1/n)【（1/√(1+(1/n))）+（1/√(1+(2/n))）+・・・+（1/√(1+(n/n))）】
となって、
＃２で書いた式
○(1/n)【(1/√(1+(1/n)))+(1/√(1+(2/n)))+・・・+(1/√1+n/n)】
と一致します。

＜不思議＞の理由は＜偶然＞ではなく、＜必然＞に＃２において、質問に回答していたと・・・

この回答へのお礼

皆さんありがとうございました。おかげさまで理解できました。

お礼日時：2007/05/21 16:26