三角関数の導関数

三角関数の微分の仕方がわかりません。教えて下さい。　
(ⅰ)ｓin(2x-1)
(ⅱ)ｓin^3x
(ⅲ)(1+cosx)sinx

No.6 ベストアンサー 回答者： I-love-manabee 回答日時： 2002/07/08 00:14

もう、みなさんが回答していらっしゃるのですが回答します。

ⅰ）ｓin(2x-1)
なんですが、これは合成関数の微分を使えば、瞬時に出てきます。
ⅰ)ｓin(2x-1)を解いていきます!
ｙ＝ｓin(2x-1)と与えられていたとします。
ここでｓin(2x-1)の2x-1の部分をtと置きましょう。(合成関数を解くための準備段階です)
そうすると、
ｙ＝ｓinｔ　-------(1)
ｔ＝2x-1　　-------(2)
と2式書けますね。
(1)式をtで微分しましょう!
dy/dt＝cost　----------(1)’
(2)式も同様にｘで微分すれば
dt/dx＝2　　--------(2)’
これら(1)’(2)’を掛けてみましょう(合成関数の微分を適用)
(dy/dt)(dt/dx)＝2cost　----------(3)
ようするに　dy/dt＝2cost
(2)より　t＝2x-1　だったから
(3)に代入しましょう!
dy/dx＝2cos(2x-1)-------------(解)
よってyの式をxで微分すると2cos(2x-1)となることがわかった。
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ⅱ)ｓin^3x
も同様に合成関数の微分を使えば簡単です!
y＝ｓin^3x が与えられていたとします。
ここではt=sinxと置きましょう!
ようするにsin^3x=sinx・sinx・sinxだからです。
y＝t^3 -------------(1)
t＝sinx -------------(2)
(1)をtで微分しましょう!
dy/dt＝3t^2　---------(1)’
同様に(2)もxで微分すれば
dt/dx＝cosx　--------------(2)’
(1)’(2)’を掛ければ
(dy/dt)(dt/dx)＝3t^2cosx
dy/dx＝3t^2cosx
(2)よりt＝sinxだから
dy/dx＝3(sin)^2cosx --------------(解)
よってyの式をxで微分すると3(sin)^2cosxとなることがわかった。
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ⅲ)(1+cosx)sinx
は今度は積の微分を使いましょう!
y＝(1+cosx)sinxが与えられていたとします
y'＝(1+cosx)’sinx＋(1+cosx)sinx’(’はxで微分することを意味します!)
y'＝-sinx・sinx＋(1+cosx)cosx
y'＝-sinx^2＋cosx+cosx^2
見やすくならべ替えて置きます(別にしなくてもいいんですが…)
y'＝cosx+cosx^2-sinx^2 --------(解)--------(1)
さらに三角関数の加算の公式より(cos2x=cosx^2-sinx^2)
y'＝cosx+cos2x --------(解)--------(2)
解(1),解(2)どちらの書き方でも構いませんよ!

No.5 回答者： roro02 回答日時： 2002/07/07 22:26

間違えました^^　展開ミスです。

(3)はcosx+cos2xが正解です。

ご迷惑をおかけしました。申し訳ございませんでした。

No.4 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/07/07 21:16

(i), (ii)は結果も皆さん一致していて問題ないのですが，

(iii)はcosx + cos^2x - sin^2x あるいは　cosx+cos2x
などの答になりますね．

(ⅲ)(1+cosx)sinx＝sinx + (1/2)sin2x と見て微分しても第２の表現は確かめられます．普通は＃２のような解法でしょうけど．

No.3 回答者： roro02 回答日時： 2002/07/07 20:06

{sin(2x-1)}'=2cos(2x-1)

(sin^3x)'=3sin^2x cosx
{(1+cosx)sinx}'=2cos^2x
です。検算に御利用ください。下の方の計算方法であっています。

No.2 回答者： novaakira 回答日時： 2002/07/07 18:45

(ⅰ)sin(2x-1)

g(x)=2x-1とすると、
f(x)=sin(g(x))となり、
f'(x)=f'(x)*g'(x)となります。
よって、
f'(x)=2cos(2x-1)

(ⅱ)sin^3x
f(x)=sin^3xとすると
f'(x)=3(sin^2x)(cosx)・・だったよーな・・・・

(ⅲ)(1+cosx)sinx
f(x)=1+cosx,g(x)=sinxとして、
F(x)=f(x)g(x)だとすると、
F'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)となるので、
F'(x)=(1+cosx)cosx+sinx(-sinx)
　　 =cosx+cos^2x-sin^2x

という感じでしょうか？
２は自信ありません・・・

No.1 回答者： Charlie24 回答日時： 2002/07/07 18:13

f(g(x))の微分、対数微分法、f(x)g(x)の微分となります。

教科書のこのあたりを読み直してみてください。