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三角関数の微分の仕方がわかりません。教えて下さい。 
(ⅰ)sin(2x-1)
(ⅱ)sin^3x
(ⅲ)(1+cosx)sinx

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三角関数」に関するQ&A: 三角関数

A 回答 (6件)

もう、みなさんが回答していらっしゃるのですが回答します。


ⅰ)sin(2x-1)
なんですが、これは合成関数の微分を使えば、瞬時に出てきます。
ⅰ)sin(2x-1)を解いていきます!
y=sin(2x-1)と与えられていたとします。
ここでsin(2x-1)の2x-1の部分をtと置きましょう。(合成関数を解くための準備段階です)
そうすると、
y=sint -------(1)
t=2x-1  -------(2)
と2式書けますね。
(1)式をtで微分しましょう!
dy/dt=cost ----------(1)’
(2)式も同様にxで微分すれば
dt/dx=2  --------(2)’
これら(1)’(2)’を掛けてみましょう(合成関数の微分を適用)
(dy/dt)(dt/dx)=2cost ----------(3)
ようするに dy/dt=2cost
(2)より t=2x-1 だったから
(3)に代入しましょう!
dy/dx=2cos(2x-1)-------------(解)
よってyの式をxで微分すると2cos(2x-1)となることがわかった。
-------------------------------------------------------------------

ⅱ)sin^3x
も同様に合成関数の微分を使えば簡単です!
y=sin^3x が与えられていたとします。
ここではt=sinxと置きましょう!
ようするにsin^3x=sinx・sinx・sinxだからです。
y=t^3 -------------(1)
t=sinx -------------(2)
(1)をtで微分しましょう!
dy/dt=3t^2 ---------(1)’
同様に(2)もxで微分すれば
dt/dx=cosx --------------(2)’
(1)’(2)’を掛ければ
(dy/dt)(dt/dx)=3t^2cosx
dy/dx=3t^2cosx
(2)よりt=sinxだから
dy/dx=3(sin)^2cosx --------------(解)
よってyの式をxで微分すると3(sin)^2cosxとなることがわかった。
---------------------------------------------------------------

ⅲ)(1+cosx)sinx
は今度は積の微分を使いましょう!
y=(1+cosx)sinxが与えられていたとします
y'=(1+cosx)’sinx+(1+cosx)sinx’(’はxで微分することを意味します!)
y'=-sinx・sinx+(1+cosx)cosx
y'=-sinx^2+cosx+cosx^2
見やすくならべ替えて置きます(別にしなくてもいいんですが…)
y'=cosx+cosx^2-sinx^2 --------(解)--------(1)
さらに三角関数の加算の公式より(cos2x=cosx^2-sinx^2)
y'=cosx+cos2x --------(解)--------(2)
解(1),解(2)どちらの書き方でも構いませんよ!
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間違えました^^ 展開ミスです。



(3)はcosx+cos2xが正解です。

ご迷惑をおかけしました。申し訳ございませんでした。
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(i), (ii)は結果も皆さん一致していて問題ないのですが,


(iii)はcosx + cos^2x - sin^2x あるいは cosx+cos2x
などの答になりますね.

(ⅲ)(1+cosx)sinx=sinx + (1/2)sin2x と見て微分しても第2の表現は確かめられます.普通は#2のような解法でしょうけど.
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{sin(2x-1)}'=2cos(2x-1)


(sin^3x)'=3sin^2x cosx
{(1+cosx)sinx}'=2cos^2x
です。検算に御利用ください。下の方の計算方法であっています。
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(ⅰ)sin(2x-1)


g(x)=2x-1とすると、
f(x)=sin(g(x))となり、
f'(x)=f'(x)*g'(x)となります。
よって、
f'(x)=2cos(2x-1)

(ⅱ)sin^3x
f(x)=sin^3xとすると
f'(x)=3(sin^2x)(cosx)・・だったよーな・・・・

(ⅲ)(1+cosx)sinx
f(x)=1+cosx,g(x)=sinxとして、
F(x)=f(x)g(x)だとすると、
F'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)となるので、
F'(x)=(1+cosx)cosx+sinx(-sinx)
   =cosx+cos^2x-sin^2x

という感じでしょうか?
2は自信ありません・・・
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f(g(x))の微分、対数微分法、f(x)g(x)の微分となります。


教科書のこのあたりを読み直してみてください。
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Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q比重の単位って?もうわけわからない・・・。

比重というのは、単位はなんなのでしょうか??
鉄の比重を7.85で計算すると考え、以下の疑問に答えてもらいたいのですが、
縦100mm・横100mm・厚さ6mmの鉄板の重さを計算したい場合、
100×100×6×7.85で計算すると、471000になります。
全部mに単位をそろえて計算すると、
0.1×0.1×0・006×7.85で、0.000471になります。

これで正確にkgの単位で答えを出したい場合、
0.1×0.1×6×7.85で、答えは0.471kgが正解ですよね?

・・・全く意味が解かりません。普通、単位は全部揃えて計算するものですよね??なぜ、この場合、厚さだけはmmの単位で、縦と横はmでの計算をするのでしょうか?

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わけわからない質問ですみません・・・。もうさっぱりわけがわからなくなってしまって・・。うんざりせずに、解かりやすく、教えてくださる方いましたらすみませんが教えて下さい・・。

比重というのは、単位はなんなのでしょうか??
鉄の比重を7.85で計算すると考え、以下の疑問に答えてもらいたいのですが、
縦100mm・横100mm・厚さ6mmの鉄板の重さを計算したい場合、
100×100×6×7.85で計算すると、471000になります。
全部mに単位をそろえて計算すると、
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これで正確にkgの単位で答えを出したい場合、
0.1×0.1×6×7.85で、答えは0.471kgが正解ですよね?

・・・全く意味が解かりません。普通、単位は全部揃えて計算するものですよね??...続きを読む

Aベストアンサー

#3番の方の説明が完璧なんですが、言葉の意味がわからないかもしれないので補足です

比重は「同じ体積の水と比べた場合の重量比」です
水の密度は1g/cm3なので、鉄の密度も7.85g/cm3になります
(密度=単位堆積あたりの重さ)
重さを求める時は「体積×密度(比重ではありません)」で求めます

おっしゃるとおり、計算をする時は単位をそろえる必要があります
100(mm)×100(mm)×6(mm)×7.85(g/cm3)ではmmとcmが混在しているので間違いです
長さの単位を全部cmに直して
10cm×10cm×0.6cm×7.85(g/cm3)=471g=0.471kg
と計算します(cmとgで計算しているのでCGS単位系と呼びます)

円筒の場合も同様に
体積×密度で求めます
円筒の体積=底面積(円の面積半径×半径×円周率)×高さ
です

比重=密度で計算するならば、水が1gになる体積1cm3を利用するために長さの単位をcmに直して計算してください
計算結果はgで出るのでこれをkgに直してください

最初からkgで出したい時は
水の密度=1000(kg/m3)
(水1m3の重さ=100cm×100cm×100cm×1g=1000000g=1000kg)
を利用して
目的の物質の密度=1000×比重(kg/m3)
でも計算できます
(このようにm kgを使って計算するのがSI単位系です)

0.1×0.1×6×7.85は#4の方がおっしゃるとおり
0.1×0.1×0.006×1000×7.85の0.006×1000だけ先に計算したのだと思います

#3番の方の説明が完璧なんですが、言葉の意味がわからないかもしれないので補足です

比重は「同じ体積の水と比べた場合の重量比」です
水の密度は1g/cm3なので、鉄の密度も7.85g/cm3になります
(密度=単位堆積あたりの重さ)
重さを求める時は「体積×密度(比重ではありません)」で求めます

おっしゃるとおり、計算をする時は単位をそろえる必要があります
100(mm)×100(mm)×6(mm)×7.85(g/cm3)ではmmとcmが混在しているので間違いです
長さの単位を全部cmに直して
10cm×10cm×0.6cm×7.85(g...続きを読む