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確率の問題を解いているのですが、途中でつまってしまい解けません。
どなたか教えてください,よろしくお願いいたします。

U(論理和)
Eは適当な確率空間における任意の事象・事象列
問題は
(1) P(E1 U E2 U E3 U・・・U En)はnについて単調に増加することを示せ.
(2) (1)の論理和を論理積に置き換えた式がnについて単調に減少することを示せ.
 
私の現在の考えは,,,
(1)Σ[i=1からnまで]P(Ei)とおき、
  それぞれP(E)は0から1の値をとるため単調に増加する.

(2) 式をドモルガンを利用して論理和の形に直し,(1)と同じように解きたいのですが,式変形がうまくいきません.

以上のようになっています

「単調に増加する」という表現が線形に増加するという
意味でしたら(1)は間違っていると思われます.(2)については
1-Σ[i=1からnまで]P(Ei)の形に直せたような記憶がありますがうまく
いってません。
ちなみにベン図などではなく公理での証明でお願いいたします.

もう丸2日間考えていますがまったく分かりません、どなたかお分かりになる方教えてください、どうぞよろしくお願いいたします.

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A 回答 (4件)

なんだか、論理に走っていて基本的なことが理解できてないかも。


(書いてないだけでわかってらっしゃるかもしれませんが)

基本的なことをいいますと。。。

「いっぱい起こりそうならその確率は高い」
というのが成り立ちます(その逆も)。
例えていうなら、
明日掃除当番に任命される確率と
明日総理大臣に任命される確率って
前者の方が高いじゃないですか。
それって掃除当番に任命されるシナリオのほうが
総理大臣に任命されるシナリオより多い
ということに起因しています。

数学用語で言う「事象」というのは
いろんなできごとやシナリオの集まり。
上で書いた「いっぱい起こりそうならその確率は高い」とは
数学用語で書けば
「A⊂B⇒P(A)<P(B)」となります。
Aというシナリオの集合よりも
さらにたくさんのシナリオを含んだBは
Aよりも起こる確率が高い、という意味です。

さて、2つの問題ですが、
今説明したことから考えれば
確率の単調増加を示すには、集合の単調増加を示せばいい、
確率の単調減少を示すには、集合の単調減少を示せばいい、
となります。
でも、集合の和をとれば集合は増加するし、
積をとれば減少するんだからあたりまえですよね。

ちゃんと証明するならNo3のように
数学的帰納法を使って証明することになります。
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E1∪E2∪E3∪・・・∪En⊂E1∪E2∪E3∪・・・∪En∪En+1


は、形式的にいうと、任意のω∈E1∪E2∪E3∪・・・∪Enをとると、
ωはE1,E2,…,Enのどれかに含まれるから、E1,E2,…,En,En+1
のどれかにも含まれるということで、E1,E2,…,EnにEn+1を付け加える
と、集合として大きくなるということです。(小さくなるということは
ない。)
一般に、A⊂Bとすると、B=A∪(B-A)であり、A∩(B-A)=φなので、
確率測度の性質から、P(B)=P(A)+(B-A)≧P(A)となります。
よって、
P(E1∪E2∪E3∪・・・∪En)≦P(E1∪E2∪E3∪・・・∪En∪En+1)
が成り立ちます。

同様に、任意のω∈E1∩E2∩E3∩・・・∩En∩En+1をとると、
ωはどのE1,E2,…,En,En+1にも含まれるので、どのE1,E2,…,Enにも
含まれ、E1∩E2∩E3∩・・・∩En⊃E1∩E2∩E3∩・・・∩En∩En+1
となり、確率測度の性質から、
P(E1∩E2∩E3∩・・・∩En)≧P(E1∩E2∩E3∩・・・∩En∩En+1)
が成り立ちます。

E1,E2,…が独立事象ならば、展開して考えてもできると思いますが、
これは単に集合の包含関係からすぐにわかるタイプのものです。

仮に、E1,E2,…が独立事象だとすると、P(E1∩E2)=P(E1)P(E2)のように
積に表わされるので、
P(E1∪…∪En)=1-(1-P(E1))…(1-P(En))
P(E1∩…∩En)=P(E1)…P(En)
から、0≦P(Ei)≦1を使って、証明できます。
上の第一式については、シルベスターの包含定理の確率版のようなもの
ですが、これはnに関する帰納法で証明されます。
(n=2の場合はP(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1∩E2)という良く知られた式
になります。)
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>(1)Σ[i=1からnまで]P(Ei)とおき、


P(E1 U E2 U E3 U・・・U En) とその式が等しいわけではないので、ダメですね。
確率が「足し算」できるような状況は偶然を除いて存在しないと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

コルモゴロフの公理よりできると思ったのですが、、、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87% …

お礼日時:2007/06/19 22:32

E1∪E2∪E3∪・・・∪En⊂E1∪E2∪E3∪・・・∪En∪En+1


E1∩E2∩E3∩・・・∩En⊃E1∩E2∩E3∩・・・∩En∩En+1
から、できると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

え~と、、数学的帰納法のように解けるということでしょうか??

お礼日時:2007/06/19 22:27

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