No.2
- 回答日時:
行列式自体が立てられないのか、
それとも得られた行列式の因数分解ができないのか、
ご質問に明記される必要があると思います。
後者であれば、「ここまでは計算したが、
ここから先をどうすれば良いか分からない」
という式が書けるはずです。
以下、行列式の定義については大丈夫だという仮定のもとに説明します。
表記の都合上、行列を行ベクトルごとに分けて書きます。
|(a, b, c), (c, a, b), (b, c, a)|
= a|(a, b), (c, a)| + b|(b, c), (a, b)| + c|(c, a), (b, c)|
= a(a^2 - bc) + b(b^2 - ca) + c(c^2 - ab)
= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
この多項式は
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
と因数分解されることが「公式」として知られています。
確認したければ展開すれば良いですね。
あえて発見的に求めるとすれば、まず最低次の1文字について整理します。
ここではどれについても3次なので、例えばaについて整理すると、
= a^3 + (-3bc)a + (b^3 + c^3)
= a^3 + (-3bc)a + (b + c)(b^2 - bc + c^2).
(b + c)(b^2 - bc + c^2)の部分はaにとっては定数項であり、
因数分解された状態を想像すれば
[a + (b + c)]あるいは[a + (b^2 - bc + c^2)]などで割り切れそうです。
もとの式がa,b,cについての対称式であることを考えると、
まっ先に[a + (b + c)]を試すべきですね。
筆算で「割り算実行」をすれば、
商はa^2 - (b + c)a + (b^2 - bc + c^2)、余りは0となり、割り切れます。
したがって前述の結果が得られます。
ちなみに、これ以上は因数分解できません。
詳しい解説までどうもありがとうございます。
後者だったのですが、
|0 y β|
|0 z γ|
|x α Λ|
という形に固持していて、まったくできませんでした。
どうもありがとうございます。
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