No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず後者から。
単純に考えると、自然数の数列 b[n]=n
に[√n]というゲタを履かせて a~[n]=n+[√n]
とすればよさそうです。ところが、この数列a~[n]自体が平方数になってしまうことがあるので、
a~[n]をゲタとするものをもう一度はかせて a[n] = n + [ √( n + [ √n ] ) ] ・・・★
次に前者
★の外側の[ ]内を √(n + [√n] )=√n √( 1+ [√n]/n )
と変形。これをテーラー展開すると √ n √(1+ [√n]/n)=√ n (1+ [√n]/n/2+・・・)
=√ n + [ √n ]/√n/2+・・・)
実際には、これの外側に[ ]が付くので、整数にならない部分は無視してよい。
また、0<[√n ]/√n≦1であるから[√n ]/√nを1に置き換えても、[ ]を付ければ最終値に影響はない。
∴a[n] = n + [√ n + 1/2]
あとは★が平方数にならないことが言えればいいんだけど・・・
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