初めての複素関数の勉強

w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。

という問題です。

この問題を解くにあたり、初めて複素関数の勉強をしました。

本を借りてきて調べると、どうやら虚軸または実軸に接する円になる、
というところまでは分かったのですが、円の中心と半径がどのように
なるのかがよく分かりません。

この問題だと、円の中心と半径を求めろということだと思うのですが、
それでいいんですよね？

解き方を教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/12 18:54

>w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。

z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。

おそらく z-平面上の直線とは、
　　z = a+iy　(a>0)
のことなのでしょう。しかし「初めての複素関数」にしては手ごわいですよ。

まず、写像の式を変形します。
　　w = 1/z = 1/(a+iy) = (1/2a)*{1+(a-iy)/(a+iy)}

以下の写像(処理)を確認してください。
　(a-iy)/(a+iy)　：w-平面上の単位円(A)
　1+(a-iy)/(a+iy)　：単位円(A)の中心をw-平面上の実軸上 u=1 へ移動(B)
　(1/2a)*{1+(a-iy)/(a+iy)}　：(B)の w-平面のスケールを(1/2a)倍

(a-iy)/(a+iy) が単位円というのを知らないと、式変形すらできません。

この回答へのお礼

(a-iy)/(a+iy)は単位円なのですか。。。
なかなか複素関数、簡単ではなさそうです。。。
これからも勉強していきます！
ありがとうございました！！

お礼日時：2007/07/12 21:03

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/07/12 19:34

z=a+iy

w=u+iv
=1/z=1/(a+iy)=(a-iy)/(a^2+y^2)
u=a/(a^2+y^2)
v=-y/(a^2+y^2)
u^2+v^2=1/(a^2+y^2)=u/a
{u-(1/2a)}^2+v^2=(1/2a)^2
w平面上のw=u+ivの実部uと虚部vの間に円の方程式の関係あり、
x平面上のx=a(実部一定)の直線がw平面上では円に写像されると言うわけです。円の中心zo=1/(2a)+i(0)、半径1/(2a)の円ですね。

この回答へのお礼

複素関数の勉強を初めてした僕にもとても分かりやすかったです！
ありがとうございました！！

お礼日時：2007/07/12 21:02