No.4ベストアンサー
- 回答日時:
球の体積を求めるには、積分と微分を用いて公式を導きます。
円の式を x^2+y^2=r^2 これをx軸のまわりに回転させると、(原点が円の中心、半径rの円)V=π∫r(上に書きます)-r(下に書きます)y^2dx
=π∫r、-r(r^2-x^2)dx
=2π∫r、0(r^2-x^2)dx
=2π[r^2x-1/3x^3]r,0
=4/3πr^3 と、公式が導き出せます。
表面積は、円周(2πr)の集合と考えられるので、換言すれば表面積を限りなく0に近づけたものと考えられるので、
球の表面積を微分したものと言えますから、逆に円周を積分すると、4πr^2と言う公式が導き出せます。
No.2
- 回答日時:
こんにちは.Esnaです.
極座標(r,θ,φ)で,
(1)球の表面積(半径r)
dθ,dφで作られる面積(球表面の微小な四角の面積)は,
イメージ的には,四角錐の底面の部分は,
次の式で書けて
r*rcosθdθdφ
になります.
よって,(0≦θ≦2π)(-π/2≦φ≦π/2)で積分すると,
∬r*rcosθdθdφ=r^2*2π*2 = 4πr^2
となります.
(2)球の体積(半径R)
(1)の場合に加えて,半径が(0≦r≦R)と変化するので
(1)を半径を変えながら,重ねていくイメージで,
∫∬r*rcosθdrdθdφ = r^3/3 * 2π * 2 = 4πr^3/3
です.
No.1
- 回答日時:
以前、似たような質問がありました。
参考にしてください。
なかなか面白いサイトを発見しました.
球の表面積
http://www2.ocn.ne.jp/~mint905/fhpstory/mikan/mi …
球の体積
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …
ちなみに,以上の2つのページでは,それぞれ求め方が独立してますが,
表面積がわかれば,その値から体積も求められます.
ちょっと図が描けないので,非常にわかりにくいと思いますが,
みかんを「細かく分ける」という考え方でも理解できます.
ご参考まで.
まず,みかんを房ごとに分けてみましょう.
さらに,この半円状の1房を,円の中心(みかんの種がある辺り)から放射状に切っていきましょう.すると,切られたみかんは,底面が少し膨らんだ四角錐のような形になりますよね.
もしこの四角錐が限りなく細ければ,底面は平らに見え,この四角錐の高さは近似的にrとなります.このような四角錐状のみかんをずらっと並べます.そうすると,高さがrの四角錐が並んでいます.
このおびただしいみかんの総面積は,実は底面積が4πr^2,高さがrの
四角錐とおんなじ面積なんです(等積変形の理論から).
したがって,
4πr^2×r×1/3=4/3πr^3
となります.
※「^2」というのは,2乗の意味です
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