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楕円面 F(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 -1 = 0
(a)楕円面上の点 P0 = (x0,y0,z0) における法線方向を指すベクトルを求めよ。

(b)P0における法線上の任意の点を P = (x,y,z) とすると、線分P0Pは(a)で求めたベクトルと平行である。このことを用いて、楕円面のP0を通る法線の方程式を求めよ。

(c)P0における接平面上の任意の点を P = (x,y,z) とすると、線分P0Pは(a)で求めたベクトルと垂直である。このことを用いて、楕円面のP0を通る法接平面の方程式を求めよ。

自分なりに考えた解答があっているかを教えていただきたいです-----

(a)原点 O = (0,0,0) から楕円面上の点 P0 = (x0,y0,z0) に伸ばしたベクトルは、当然 点P0の接平面 に垂直なので 法線ベクトル →P0 = (x0,y0,z0)

(b) →P0P = (x,y,z) - (x0,y0,z0) = (x-x0,y-y0,z-z0) これに平行なので (x-x0)/x0 = (y-y0)/y0 = (z-z0)/z0

(c) →P0P = (x,y,z) - (x0,y0,z0) = (x-x0,y-y0,z-z0) これに垂直なので内積がゼロ、よって x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0) = 0

-----

特に(b)はあっていますか?
よろしくおねがいします。

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A 回答 (2件)

あまり他人に頼りすぎないで自力で合っているか確認する努力が必要です。


係数や座標をすべて文字変数の一般式では本当に正しいかは確認できませんので係数や座標の文字変数の全てに具体的な値を与えて、実際にF(x,y,z)=0や接平面の3Dグラフや法線ベクトルの外形を描いてみてください。
そういうことをしないと、いつも自分で解析した結果が正しいかどうか自力で確証できず、いつまでも自信をもてませんよ。

一応、a,b,c,(x0,y0,z0)に具体的な1組の値を入れて3Dプロットした状態では
A#1の補足にお書きの(a),(b),(c)で正しいようです。
あなた自身でも確認されるよう希望します。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
今回は関連の試験が明日に控えていることもあり
解答の正誤を優先してしまいました。

以後自分で確認するように気をつけたいと思います。

お礼日時:2007/08/08 12:22

>(a)原点 O = (0,0,0) から楕円面上の点 P0 = (x0,y0,z0) に伸ばしたベクトルは、当然 点P0の接平面 に垂直なので 法線ベクトル →P0 = (x0,y0,z0)



球でなく、楕円面(a=b=cは成立していない)の場合が法線ベクトルになりません。
基本的なことを理解する必要がありますね。

この間違った法線ベクトルを使えば
>(b)→
>(c)→
は正しい結果が出てきません。

(a)の法線ベクトルは
(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
です。
ここで、Fxは∂F/∂xのことです。

この回答への補足

なるほど、確かに楕円は中心からかならずしも法線になるとは限りませんね。

ということは(a)の答えは
(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
= (2*x0/a^2,2*y0/b^2,2*z0/c^2)
=2(x0/a^2,y0/b^2,z0/c^2)
法線方向のベクトルを示せばいいのでわかりやすく1/2倍して
(x0/a^2,y0/b^2,z0/c^2)
ということで間違いはないでしょうか?

他も修正して
(b) a^2*(x-x0)/x0 = b^2*(y-y0)/y0 = c^2*(z-z0)/z0
(c) x0*(x-x0)/a^2 + y0*(y-y0)/b^2 + z0*(z-z0)/c^2 = 0
で間違いないですか?

補足日時:2007/08/07 22:15
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Q楕円の単位法線ベクトルがわかりません

楕円の単位法線ベクトルNをどうやってθで表わすのか教えて頂けませんか?
閉曲線がx=acosθ、y=bsinθ(θは0~2Π)で表される楕円です.

Aベストアンサー

θは入力しにくいのでtで代用。
x=acost、y=bsint
点(x,y)における接線の傾きmは
m=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=bcost/(-asint)
法線の傾きnは
mn=-1を満たす。
よって
n=-1/m=asint/bcost
単位法線ベクトルNの成分(p,q)は
p=kbcost, q=kasint
p^1+q^2=1
を満たす。このとき
k^2b^2cos^2t+k^2a^2sin^2t=1
k=1/√(b^2cos^2t+a^2sin^2t)
よって
N(bcost/√(b^2cos^2t+a^2sin^2t), asint/√(b^2cos^2t+a^2sin^2t))

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qgrad、div、∇

物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか?。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが,
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は,チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって,気圧はうんと下がっちゃいます.
で,y,z 方向には全く動かず,x 方向にだけ動いたとします.
このときの p の変化の割合は,偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね.
同様に,x,z を固定して y だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y,
x,y を固定して z だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z.
つまり,以上の3つの偏微分で変化の様子がわかります.
ばらばらに3つ扱ってもいいですが,
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x,
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y,
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z,
というベクトルにしたのが grad p です.
ベクトルにしておくと,
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります.

なお,creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです.
p は圧力(の強さ)そのもの,grad p は p の変化の割合です.
その場所での圧力は p です.

div は,creol さんも書かれているように,発散です.
極限値が発散する,などの発散とは全く違いますので,念のため.
例えば,水流中に仮想的な直方体を考えてください.
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね.
で,場所にもよりますから,j(x,y,z) と書きましょう.
テキストファイルじゃうまく書けないですが,j はベクトルです.
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる,後述).
直方体の6面分全部考えてくださいよ.
水量ですから,スカラー量ですね.
え? 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう?
ええ,それでいいんです.
つまり,div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量,本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています.
式で書くなら, div j = - ∂ρ / ∂t です.
右辺のマイナスは減少だからついているんです.
ふつうの水流(例えば,川なんか)なら?
div j の計算のときに,流出量をプラスとして考えているので,
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください.
ごくふつうに川が流れているとき,
上流の方から流入量と,
下流側への流出量は同じですよね.
そうすると,プラマイうち消して,div j = 0,
直方体の中の水量は時間変化しません.

え,直方体の大きさ?
あ,それはですね,十分小さくとってください.
小さくとれば,流入量も流出量も小さくなっちゃう?
実は,正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります.

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です.
jx は j の x 成分,他も同様.


∇の記号は creol さんの書かれているとおり.
読み方は「ナブラ」(nabla) です.
ちょっと変わった名前ですが,
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています.

grad,div,と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation,回転)があります.

わかりやすく,ということで回答してみました.

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる...続きを読む

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。

Q楕円上の点と外部の点の距離

楕円上の点とその外部の定点の距離を求めたいのですが、どうやったらいいのでしょう。言い換えれば、楕円外部のある点と楕円周の点の最短の長さ。

http://okwave.jp/qa2153823.html
こちらにはアイデアとして、楕円を円に直して定点との距離を求め、楕円に戻すということを考えているようですが、この方法だと円と外部の点の距離はどうやって求めたらよいのでしょう?

ヒントでもありましたら宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

楕円の式:(x/a)^2 +(y/b)^2=1 (a>b>0としておきます)
定点A(xo,yo) (xo>0,yo>0としておきます)
楕円上の任意点P(c,d) (c>0,d>0としておきます)
 (c/a)^2 +(d/b)^2=1 …(1)
点P(c,d)における接線の式:(cx/a^2)+(dy/b^2)=1
 cxb^2 +dya^2=(ab)^2 …(2)
点P(c,d)における法線の式:(x/c)(a^2)-(y/d)(b^2)=a^2-b^2 …(3)
法線が点Aを通る条件:
 ((x-xo)/c)(a^2)-((y-yo)/d)(b^2)=0
 (x/c)(a^2)-(y/d)(b^2)=(xo/c)(a^2)-(yo/d)(b^2) …(4)
(3),(4)は同一式だから右辺が等しい。
 (xo/c)(a^2)-(yo/d)(b^2)=a^2-b^2 …(5)
(1)と(5)をc,dの連立方程式として解けば、
楕円上の接点P(c,d)が求まる。
 c= ?, d= ?
(↑自分で確認して下さい。文字定数ばかりですから式が複雑になるかも知れません。文字定数に具体的な数値を与えれば簡単に出てきます。)

接線の式(2)上の点P(c,d)と点A(xo,yo)との距離Dが点Aと楕円上の点との最短距離になるから,点A(xo,yo)から接線に下した垂線の公式から
D=|c xo(b^2)+(d yo(a^2)-(ab)^2|/√[{c xo(b^2)}^2 +{d yo(a^2)}^2]
と求まります。

具体的な例題に当てはめて、図を描いいて、上記手順で求めていけば、解が求められますよ。
分からなければ補足質問でどこが分からないか質問されたし。

楕円の式:(x/a)^2 +(y/b)^2=1 (a>b>0としておきます)
定点A(xo,yo) (xo>0,yo>0としておきます)
楕円上の任意点P(c,d) (c>0,d>0としておきます)
 (c/a)^2 +(d/b)^2=1 …(1)
点P(c,d)における接線の式:(cx/a^2)+(dy/b^2)=1
 cxb^2 +dya^2=(ab)^2 …(2)
点P(c,d)における法線の式:(x/c)(a^2)-(y/d)(b^2)=a^2-b^2 …(3)
法線が点Aを通る条件:
 ((x-xo)/c)(a^2)-((y-yo)/d)(b^2)=0
 (x/c)(a^2)-(y/d)(b^2)=(xo/c)(a^2)-(yo/d)(b^2) …(4)
(3),(4)は同一式だから右辺が等しい。
 (xo/c)(a^2)-(yo/d)(b...続きを読む

Q台形の重心を求めるには

上底a 下底b 高さ h とした場合、台形の重心をもとめる公式は、 (2a+b)/(a+b)*h/3 でよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

計算してみました。
面積
 A=(a+b)h/2
下底周りの断面一次モーメント
 S=a・h^2/2 + (b-a)h^2/6
  =h^2(2a+b)/6

重心位置、S/Aですから、
 G=(2a+b)/(a+b) ・ h/3

合ってますね。

Q2つに直交する単位ベクトル

a=(1,2,1)にもb=(2、-1,1)にも直交する単位ベクトル
を求めたいのですが、求めたい単位ベクトルをxと置いて
a・x=0、b・x=0という風にしてみたのですがうまくいきません。
計算過程を含めご教授していただける方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。

x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
   x=3y   これを、(B)に代入して、
   z=-5y

   x,z が y で表されているのを確認して、
   2式を(A)に入れて、

 9(y^2)+(y^2)+25(y^2)=1
           35(y^2)=1
     y=(1/√35), (-1/√35)

    即ち求めたい単位ベクトルは、
  (3/√35, 1/√35, -5/√35) 、
  (-3/√35, -1/√35, 5/√35) 。

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。

x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
   x=3y   これを、(B)に代入し...続きを読む

Q単位法線ベクトルの求め方

曲面z=x^2+y^2の点(1,0,1)における単位法線ベクトルを求めよ

という問題で、答えが分からず困っています。


1.

φ=x^2+y^2-z=0
gradφ=(2x,2y,-1)
(1,0,1)での勾配は、(1,0,1)を代入してgradφ=(2,0,-1)
この単位ベクトルを求めて、(2,0,-1)*5^(-1/2)


2.

求める値は
{(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)}/{l(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)l}に(1,0,1)を代入すればよいので
(-2x,-2y,1)/(4x^2+4y^2+1)^(-1/2)に(1,0,1)を代入すればよい
よって、(-2,0,1)*5^(-1/2)

どちらの答えがあっているのでしょうか?

出てきた値の符号が違うので........

Aベストアンサー

ある曲面の単位法線ベクトルがuだとすると、-uもまた単位法線ベクトルになります。
両方とも単位法線ベクトルです。

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。


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