お世話になります。
1.頂点から底面への垂直線で、頂点からの距離がy(0<y≦h)となる点を通り、底面に平行な切断面の面積を求めよ。
2.微小区間dyを考える時、その切断面の円柱の体積を求めよ。さらに、これを用いて、積分により円錐の体積を求めよ。
という、2問があり、問1については、比を利用して(y/h・r)^2・3.14、問2については∫(y/h・r)^2・3.14で円柱の面積がもとまり、円錐は円柱の面積の1/3なので1/3∫(y/h・r)^2・3.14という解答を作りました。ここで、微小区間dyの範囲を決めなくてはならなかったもか、この解き方であっているのか、重積分を使って解くべきなのか、解答がないため分かりません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>問2については∫(y/h・r)^2・3.14で円柱の面積がもとまり
円柱の体積はdV=π(ry/h)^2dy
です。
>円錐は円柱の面積の1/3なので1/3∫(y/h・r)^2・3.14という解答を作りまし
円錐の体積V=∫[0→h] π(ry/h)^2 dy
=π{(r/h)^2}∫[0→h] y^2 dy
=π{(r/h)^2}[(1/3)y^3] [0→h]
=π{(r/h)^2}(1/3)(h^3-0)=(1/3)π(r^2)h
と解きます。
>重積分を使って解くべきなのか、
回転体の積分になりますので重積分の必要性はありません。
No.2
- 回答日時:
>問1については、比を利用して(y/h・r)^2・3.14
おかしいですね?
断面の半径をxとするとh:y=r:xではありませんか?
x=ry/hよって断面の面積はπ(ry/h)^2
>問2については∫(y/h・r)^2・3.14で円柱の面積がもとまり、円錐は円柱の面積の1/3なので1/3∫(y/h・r)^2・3.14という解答を作りました。
これもおかしいですね。微小区間の体積を積分して全体の体積を求めなさいという問題ですからおかしくなってます。
微小区間の体積を積分する式を作らないといけませんね
問2は「微小区間dyを考える時、その切断面の円柱の体積を求めよ」は
底面積を問1で求めた面積として高さをdyとした円柱を考えるので
π(ry/h)^2×dyとなり
これを高さ方向に積分して体積を求めるので
∫[0~h]π(ry/h)^2dy=π(r/h)^2∫[0~h]y^2dy
=π(r/h)^2[(y^3)/3][0~h]
=π(r/h)^2×(h^3)/3
=1/3×π(r^2)h
です。
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