例えば正四面体があって、それに面の数だけ色を塗り分けるとすると、
仮に面Aを底面とすると、残りの面B,面C,面Dは数珠計算の要領で、
3P3/3=2通り
さらに正四面体なので
{4×(3P3/3)}/4
=2通り の塗り方があることになります。
立方体だと側面は
4P4/4=6通り
同様にして
{6×5×(4P4/4)}/6
=5×6
=30通り となります。
同じように考えていくと、正八面体は
{8P4/4×4!/4}/8
=(420×6)/8
=2520/8
=315通りでいいんでしょうか。
また、正十二面体と正二十面体ではどう考えればいいんでしょう。
全く分からないので分かる方お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
正多角形の面を
1底面
2底面に線で接する面
3上記以外の面
に分類して考えます。
正4面体の場合
1底面は 1面
2底面に線で接する面 3面
3上記以外の面 0面
底面を固定して考えると円順列で
3!/3=2
正6面体の場合
1底面は 1面
2底面に線で接する面 4面(底面が正方形のため)
3上記以外の面 1面
底面を固定して考えると
3は 5P1=5
2は円順列で4!/4=6
だから5*6=30(5!/4)
正8面体の場合
1底面は 1面
2底面に線で接する面 3面(底面が正三角形のため)
3上記以外の面 4面
底面を固定して考えると
3は 7P4=840
2は円順列で3!/3=2
だから 840*2=7!/3=1680
正12面体の場合
1底面は 1面
2底面に線で接する面 5面(底面が正五角形のため)
3上記以外の面 6面
11P6*5!/5=11!/5=7983360
正20面体の場合
1底面は 1面
2底面に線で接する面 3面(底面が正三角形のため)
3上記以外の面 16面
19P16*3!/3=19!/5
結局
底面を固定すると多面体の面数-1の階乗となり
円順列の要領で重複分を考慮すれば
重複分は底面に線で接する面の数だけあるので
その面数でわればよいのでは、
早めの回答ありがとうございます。
そうですね。底面は固定して重複分の面で割ってしまえばいいんですね。
分かりやすい解説をありがとうございました。
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